Mouvement d'une masse fixée à un ressort tournant à vitesse angulaire constante ( suite)

Partie

Question

Mouvement d'une masse fixée à un ressort tournant à vitesse angulaire constante ( suite) (*)

5) -- Quelle est l'équation différentielle qui rend compte du mouvement de \(M\) sur la tige. Résoudre complètement cette équation différentielle ;

a) dans le cas où \(\Omega = \omega_0\)

b) dans le cas où \(\Omega < \omega_0\). On posera alors \(\displaystyle{\omega^2=\omega_0^2-\Omega^2}\) et on appellera\( \rho_p\) la solution particulière de l'équation complète. Exprimer \(\rho_p\).

c) dans le cas où \(\Omega > \omega_0\). On posera alors \(\displaystyle{a^2=\vert\omega_0^2-\Omega^2\vert}\) .

Caractériser la nature des mouvements dans chacun de ces cas?

Aide simple

Utiliser l'intégration des équations différentielles à coefficients constants. Ne pas oublier les conditions initiales.

Solution détaillée

5) L'équation (3) s'écrit

\(\displaystyle{-K(\rho-l_0)=m(\rho"-\rho\Omega^2)}\)

\( l_0\) est la longueur au repos du ressort.

En posant :\( \displaystyle{\omega_0^2=\frac{K}{m}}\) , on obtient :

\(\displaystyle{\rho"+\rho(\omega_0^2-\Omega^2)=\omega_0^2l_0\quad(5)}\)

Résolution de l'équation (5) ayant pour conditions initiales :

\(\displaystyle{t=0\iff OM_0=\rho_0,\theta_0=0,\rho'=0}\)

On ne traite que le cas\( \rho(t) > 0\).

Plusieurs cas sont possibles :

  • cas a) \(\displaystyle{\omega_0=\Omega :\Rightarrow\rho"=\omega_0^2l_0}\)

    \(\displaystyle{t\to\rho(t)}\) est uniformément accéléré, d'accélération :

    \(\displaystyle{\rho"=\omega_0^2l_0}\)

    Les conditions initiales donnent :

    \(\displaystyle{\rho(t)=\rho_0+(\frac{1}{2})\omega_0^2l_0t^2}\)

  • cas b et c) \(\displaystyle{\omega_0\neq\Omega}\)

    L'équation différentielle est linéaire à coefficients constants; sa solution générale est la somme d'une solution particulière :

    \(\displaystyle{\rho_p=\frac{\omega_0^2l_0}{(\omega_0^2-\Omega^2)}}\)

    et de la solution générale de l'équation avec second membre nul :

    \(\displaystyle{\rho"+\rho(\omega_0^2-\Omega^2)=0}\)

  • \(\displaystyle{\omega_0>\Omega :t\to\rho(t)}\) est sinusoïdal de pulsation \(\omega\) telle que :

    \(\displaystyle{\omega^2=\omega_0^2-\Omega^2}\)

    La solution est de la forme

    \(\displaystyle{\rho(t)=\rho_p+A\cos(\omega t+\Phi)}\)

    En calculant les constantes d'intégration en fonction des conditions initiales, on obtient :

    \(\displaystyle{\rho(t)=\rho_p+(\rho_0-\rho_p)}.\cos\omega t\textrm{ et }\theta(t)=\Omega(t)(\rho_0<2\rho_p)\)

    On aura une solution [\(\rho(t), \Omega(t)\)] périodique si la période \(\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\Omega}}\) de rotation est multiple de la période \(\displaystyle{\tau=\frac{2\pi}{\omega}}\) d'oscillation, donc pour les valeurs entières de \(n> 0\) telles que

    \(\displaystyle{\omega=n.\Omega\Rightarrow\omega^2=n^2.\Omega^2\Rightarrow\omega_0^2=(n^2+1).\Omega^2}\)

  • cas c) \(\displaystyle{\omega_0<\Omega :t\to\rho(t)}\) est hyperbolique d'argument at, avec : \(\displaystyle{a^2=\Omega^2-\omega_0^2}\)

    L'équation s'écrit \(\displaystyle{\rho"-a^2\rho=\omega_0^2l_0}\)

    La solution est de la forme

    \(\displaystyle{\rho(t)=\rho_p+A\textrm{ ch }at+B\textrm{ sh }at}\)

    En déterminant \(A \textrm{ et }B\) à l'aide des conditions initiales, on obtient :

    \(\displaystyle{\rho(t)=\rho_p+(\rho_0-\rho_p).\textrm{ ch }at}\)

    et\( \theta(t)=\Omega t \). Cette solution \(\rho(t)\) diverge lorsque \(t\) tend vers l'infini.