Sphère d'indice n

Partie

Question

Soit une sphère d'indice n plongée dans l'air.

En utilisant l'équation de conjugaison du dioptre sphérique avec origine au centre (conditions de Gauss), calculer la position de l'image de A à travers la sphère. A.N : n = 4/3 ; R = 3 cm ; OA = 6 cm.

Représenter l'organigramme des images successives à travers les dioptres sphériques.

Aide simple

Utiliser les relations de conjugaison.

Rappel de cours
  • Le dioptre sphérique n'est rigoureusement stigmatique que pour les points de sa surface et son centre

  • Il y a stigmatisme approché pour tout point de l'espace qui n'envoie sur le dioptre sphérique qu'un pinceau lumineux dont le rayon moyen lui est normal, c'est à dire peu incliné par rapport à l'axe du dioptre ou encore formé de rayons paraxiaux.

  • Tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.

  • Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axe optique du dioptre.

  • Pour construire l'image d'un objet plan :

on utilise 3 rayons particuliers :

  • un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci

  • un rayon issu de \(B_1\) et passant par le foyer objet \(F\) : il est réfracté suivant une parallèle à l'axe principal

  • un rayon issu de \(B_1\) et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe par le foyer image \(F'\).

Formules de conjugaison :

Origine au sommet

\(\frac{n_1}{\overline{SA_1}}.\frac{n_2}{\overline{SA_2}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{SC}}\)

\(\gamma=\frac{n_1}{n_2}\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}}\)

Origine au centre

\(\frac{n_1}{\overline{CA_2}}.\frac{n_2}{\overline{CA_1}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{CS}}\)

\(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{CA_2}}{\overline{CA_1}}\)

Origine aux foyers

\(\overline{FA_1}\overline{F'A_2}=\overline{SF}\overline{SF'}=ff'\)

\(\gamma=-\frac f{\overline{FA_1}}=\frac{\overline{F'A_1}}{f'}\)

Relation de Lagrange-Helmholtz :

\(n_1\overline{A_1B_1}\theta_1=n_2\overline{A_2B_2}\theta_2\)

Solution détaillée

\(\substack{{A}\\\\{1}} ~\stackrel{D_{1}}{\substack{{\longrightarrow}\\{S_{1}}}}~ ~ \substack{{A'_{1}}\\\\{n}} ~\stackrel{D_{2}}{\substack{{\longrightarrow}\\{S_{2}}}}~ \substack{{A'}\\\\{1}}\)

pour le dioptre \(D_1\) de sommet \(S_1\) on a : \(\frac {n}{\overline{OA}}-\frac{1}{\overline{OA'_{1}}}=\frac{n-1}{\overline{OS_{1}}}=\frac{1-n}{R}\) (1)

pour le dioptre \(D_2\) de sommet \(S_2\) on écrira : \(\frac{1}{\overline{OA'_{1}}}-\frac {n}{\overline{OA'}}=\frac{1-n}{\overline{OS'_{2}}}=\frac{1-n}{R}\) (2)

(1) + (2) ® \(n(\frac1{\overline{OA}}-\frac1{\overline{OA'}})=\frac{2(1-n)}R\)

\(\frac1{\overline{OA}}-\frac1{\overline{OA'}}=\frac{2(1-n)}{nR}\)

\(\frac1{\overline{OA'}}=\frac1{\overline{OA}}-\frac{2(1-n)}{nR}=\frac{nR-2(1-n)}{nR.\overline{OA}}\)

\(\overline{OA'}=\frac{nR.\overline{OA}}{nR-2(1-n).\overline{OA}}\)

A.N : \(n = 4/3\) \(R = 3 cm\) \(\overline{OA}=-6cm\) d'où \(\overline{OA'}=\infty\) \(A'\) est rejeté à l'infini donc \(A\) se trouve au foyer objet du système.