Equation fondamentale

Partie

Question

En utilisant l'équation fondamentale du dioptre sphérique entre les positions de deux points conjugués \(A_1\) et \(A_2\) de l'axe, et la construction ci-contre, de l'image \(B_2\) d'un point \(B_1\) situé à faible distance de l'axe au dessus de \(A_1\), établir les trois écritures ci-après du rapport d'agrandissement : \(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{n_1}{n_2}\cdot\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}}=\frac{-f}{\overline{FA_1}}=\frac{-\overline{F'A_2}}{f'}\)

On pourra poser \(x_0=\overline{FA_1}\), \(x_i=\overline{F'A_2}\), \(P_0=\overline{SA_1}\), \(P_i=\overline{SA_2}\).

On suppose précédemment établi le rapport des distances focales objet et image : \(f / f ' = -n_1 / n_2\).

Utiliser l'équation fondamentale du dioptre sphérique

Aide simple

Le rayon de direction \(B_1C\), perpendiculaire à la surface du dioptre, n'est pas dévié. Considérer les triangles \(CA_1B_1\) et \(CA_2B_2\).

Aide détaillée

L'équation fondamentale du dioptre sphérique s'écrit : \(n_1\cdot\frac{\overline{CA_1}}{\overline{SA_1}}=n_2\cdot\frac{\overline{CA_2}}{\overline{SA_2}}\) et on sait également que \(\frac f{f'}=-\frac{n_1}{n_2}\) et \(x_0.x_i = f.f '\).

Les angles \(\stackrel{\wedge}{A_1CB_1}\) et \(\stackrel{\wedge}{A_2CB_2}\) sont égaux et ont même tangente, d'où : \(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{CA_2}}{\overline{CA_1}}\)

Rappel de cours
  • Le dioptre sphérique n'est rigoureusement stigmatique que pour les points de sa surface et son centre

  • Il y a stigmatisme approché pour tout point de l'espace qui n'envoie sur le dioptre sphérique qu'un pinceau lumineux dont le rayon moyen lui est normal, c'est à dire peu incliné par rapport à l'axe du dioptre ou encore formé de rayons paraxiaux.

  • Tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.

  • Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axe optique du dioptre.

  • Pour construire l'image d'un objet plan :

on utilise 3 rayons particuliers :

  • un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci

  • un rayon issu de \(B_1\) et passant par le foyer objet \(F\) : il est réfracté suivant une parallèle à l'axe principal

  • un rayon issu de \(B_1\) et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe par le foyer image \(F'\).

Formules de conjugaison :

Origine au sommet

\(\frac{n_1}{\overline{SA_1}}.\frac{n_2}{\overline{SA_2}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{SC}}\)

\(\gamma=\frac{n_1}{n_2}\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}}\)

Origine au centre

\(\frac{n_1}{\overline{CA_2}}.\frac{n_2}{\overline{CA_1}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{CS}}\)

\(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{CA_2}}{\overline{CA_1}}\)

Origine aux foyers

\(\overline{FA_1}\overline{F'A_2}=\overline{SF}\overline{SF'}=ff'\)

\(\gamma=-\frac f{\overline{FA_1}}=\frac{\overline{F'A_1}}{f'}\)

Relation de Lagrange-Helmholtz :

\(n_1\overline{A_1B_1}\theta_1=n_2\overline{A_2B_2}\theta_2\)

Solution détaillée

En utilisant l'équation fondamentale \(n_1\cdot\frac{\overline{CA_1}}{\overline{SA_1}}=n_2\cdot\frac{\overline{CA_2}}{\overline{SA_2}}\) et le théorème de Thalès (ou l'égalité des tangentes des angles égaux en C) dans les triangles \(CA_1B_1\) et \(CA_2B_2\), l'on obtient : \(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{CA_2}}{\overline{CA_1}}=\frac{n_1}{n_2}\cdot\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}}=\frac{n_1}{n_2}\cdot\frac{P_i}{P_0}\) si \(p_0\) et \(p_i\) sont les positions algébriques de l'objet et de l'image par rapport au sommet du dioptre.

En introduisant les positions algébriques \(x_o\) de l'objet et \(x_i\) de l'image, référencées au foyer objet \(F\) pour l'objet et au foyer image \(F'\) pour l'image, il vient :

\(P_i=\overline{SA_2}=\overline{SF'}+\overline{F'A_2}=f'+x_i=f'\cdot(1+(x_i/f'))\)

\(P_0=\overline{SA_1}=\overline{SF}+\overline{FA_1}=f+x_0=x_0\cdot((f/x_0)+1)=x_0.((x_i/f')+1)\)

d'où \(\gamma=\frac{n_1}{n_2}\cdot\frac{P_i}{P_0}=\frac{n_1}{n_2}\cdot\frac{f'}{x_0}=-\frac f{x_0}\) et avec Newton \(\gamma=\frac{-x_i}{f'}\)

soit \(\gamma=\frac{n_1}{n_2}\cdot\frac{P_i}{P_0}=-\frac f{x_0}=-\frac{x_i}{f'}\)

\(x_0.x_i = f.f '\)