Equation de conjugaison avec origine au sommet
Partie
Question
Soit un dioptre sphérique (D) de sommet (S) de centre (C) et de foyer image F'. Le stigmatisme est supposé réalisé et l'expression des distances focales objet et image connue.
\(\frac{n_2}{\overline{SA_2}}-\frac{n_1}{\overline{SA_1}}=\frac{n_2-n_1}{\overline{SC}}\quad f=\left(\frac{n_1}{n_1-n_2}\right)\cdot\overline{SC}\quad f'=\left(\frac{n_2}{n_2-n_1}\right)\cdot\overline{SC}\)
Etablir la relation de conjugaison \(\frac f{\overline{SA_1}}+\frac{f'}{\overline{SA_2}}=1\) que l'on pourra écrire : \(\frac f{P_0}+\frac{f'}{P_i}=1\) avec \(P_0=\overline{SA_1},P_i=\overline{SA_2}\)
Transformer la relation de conjugaison
Aide simple
\(\frac{n_2}{\overline{SA_2}}-\frac{n_1}{\overline{SA_1}}=\frac{n_2-n_1}{\overline{SC}}\)
Multiplier les deux membres de \(\frac{n_2}{\overline{SA_2}}-\frac{n_1}{\overline{SA_1}}=\frac{n_2-n_1}{\overline{SC}}\) par \(\frac{\overline{SC}}{n_2-n_1}\)
Rappel de cours
Le dioptre sphérique n'est rigoureusement stigmatique que pour les points de sa surface et son centre
Il y a stigmatisme approché pour tout point de l'espace qui n'envoie sur le dioptre sphérique qu'un pinceau lumineux dont le rayon moyen lui est normal, c'est à dire peu incliné par rapport à l'axe du dioptre ou encore formé de rayons paraxiaux.
Tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.
Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axe optique du dioptre.
Pour construire l'image d'un objet plan :
on utilise 3 rayons particuliers :
un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci
un rayon issu de \(B_1\) et passant par le foyer objet \(F\) : il est réfracté suivant une parallèle à l'axe principal
un rayon issu de \(B_1\) et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe par le foyer image \(F'\).
Formules de conjugaison :
Origine au sommet
\(\frac{n_1}{\overline{SA_1}}.\frac{n_2}{\overline{SA_2}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{SC}}\)
\(\gamma=\frac{n_1}{n_2}\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}}\)
Origine au centre
\(\frac{n_1}{\overline{CA_2}}.\frac{n_2}{\overline{CA_1}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{CS}}\)
\(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{CA_2}}{\overline{CA_1}}\)
Origine aux foyers
\(\overline{FA_1}\overline{F'A_2}=\overline{SF}\overline{SF'}=ff'\)
\(\gamma=-\frac f{\overline{FA_1}}=\frac{\overline{F'A_1}}{f'}\)
Relation de Lagrange-Helmholtz :
\(n_1\overline{A_1B_1}\theta_1=n_2\overline{A_2B_2}\theta_2\)
Solution détaillée
En multipliant les deux membres de \(\frac{n_2}{\overline{SA_2}}-\frac{n_1}{\overline{SA_1}}=\frac{n_2-n_1}{\overline{SC}}\) par \(\frac{\overline{SC}}{n_2-n_1}\), il vient :
\(\frac{\left(\frac{n_2}{n_2-n_1}\right)\cdot\overline{SC}}{SA_2}-\frac{\left(\frac{n_1}{n_2-n_1}\right)\cdot\overline{SC}}{SA_1}=1\)
\(\frac f{\overline{SA_1}}+\frac{f'}{\overline{SA_2}}=1\) ou encore \(f/p_0+f'/p_i=1\)