Question 3
Durée : 7 mn
Note maximale : 8
Question
Dans le cas de \(N\) vibrations isochrones \(\omega\) , de même amplitude \(a\) et présentant un déphasage \(\varphi\) constant de l'une à l'autre, déterminer la vibration résultante \(s(t)\) et l'intensité \(I(\varphi)\).
( Dans le cas d'une vibration : \(\underline{s}(t) = \underline{A} e^{j \omega t}\) l'intensité est définie par \(I = \underline{A} . \underline{A}^{\ast}\) à un coefficient multiplicatif près ) .
On donne : \(\displaystyle{\sum_{i=0}^{N-1}q^{i} = \frac{1-q^{N}}{1-q}}\) avec \(q \ne 1\)
Solution
La vibration résultante \(\underline{s}(t) = \displaystyle{\sum_{i=0}^{N}\underline{s}_{i}(t)}\) en représentation complexe, pour les vibrations isochrones, de même amplitude :
\(\underline{s}(t) = a \left(1 + e^{j \varphi} + e^{j 2 \varphi} + ... + e^{j\left(N-1\right)\varphi}\right)e^{j \omega t} = a \frac{1 - e^{j N \varphi}}{1-e^{j \varphi}}e^{j \omega t}\) ( 4 points )
L'intensité totale \(I(\varphi)\) au point \(M\), en identifiant \(\underline{s}(t)\) et \(\underline{A}~e^{j \omega t}\),est donc:
\(I(\varphi) = \underline{A}. \underline{A}^{\ast} = a^{2} \frac{\left(1-e^{j N \varphi}\right)\left(1-e^{-j N \varphi}\right)}{\left(1- e^{j \varphi}\right)\left(1-e^{-j \varphi}\right)} = a^{2} \frac{2\left(1- \cos N \varphi\right)}{2 \left(1- \cos \varphi\right)} = \left(a \frac{\sin\left(N \varphi/2\right)}{\sin \left(\varphi/2\right)}\right)^{2}\) ( 4 points )