Définition du logarithme népérien de x

On appelle fonction logarithme népérien[1], noté ln (ou \(\textrm{log}_{e}\) ), la primitive définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\) ,de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) s'annulant pour \(x = 1\).

\(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \qquad \ln x =\displaystyle{\int_{1}^{x} \frac{dt}{t}}\)

  • Pour \(x > 1\) : \(\textrm{ln } x > 0\) est l'aire \(A\) limitée par la courbe représentative \(y = 1/t\), l'axe \(Ot\) et les droites d'équations \(t = 1\) et \(t = x\).

  • Pour \(x = 1\) : \(\textrm{ln }1 = 0\) par définition de la fonction \(\textrm{ln}\).

  • Pour \(0 < x < 1\) : \(\textrm{ln }x < 0\) est l'opposé de l'aire \(A'\) car d'après les propriétés de l'intégrale : \(\displaystyle{\int_{1}^{x} \frac{dt}{t} = - \int_{x}^{1} \frac{d t}{t} = -A '}\)