Physique
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Propriétés de la fonction ln x
Propriétés conséquentes à la définition de ln

est définie sur

est dérivable (donc continue) sur et

Propriété fondamentale de la fonction ln
  • Théorème : (1)

Démonstration : 

Soit et

L'application (fonction composée) est dérivable sur :

Les fonctions et ayant des dérivées égales sont égales à une constante près.

Donc il existe tel que :

Pour , d'où

En posant on retrouve la relation (1).

Exemple :

Remarque :

Exemple :

Propriétés conséquentes du théorème
  • (2)

Démonstration : 

A partir de la relation (1) nous avons :

d'où le résultat.

Exemple :

Démonstration : 

Pour , la relation (2) conduit à :

Exemple :

Détail :

Cas particuliers :

si :

Exemple :

si :

pour

pour

pour

Exemple :

si

pour , posons

pour et posons

Exemple :

Remarque : L'étude des fonctions puissances, permettra de montrer que cette relation est aussi valable pour irrationnel et par conséquent :

Exemple :

 

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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