Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances

\(\ln\) est définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\)

\(\ln\) est dérivable (donc continue) sur \(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\) et \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \quad \ln '(x) = \frac{1}{x}\)

\(\ln 1 = 0\)

• Théorème : \(\forall(a,b) \in \left(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\right)^{2} \quad \ln (ab) = \ln a + \ln b\) (1)

Démonstration : 

Soit \(a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\) et \(\begin{array}{lllll} f :&  x \mapsto \ln (ax) \\ &\mathbb{R}_{+}^{\ast} \to \mathbb{R} \end{array}\)

L'application \(f\) (fonction composée) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) :

\(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \quad f'(x) = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x}= \ln' x\)

Les fonctions \(\ln(ax) \) et \(\ln x\) ayant des dérivées égales sont égales à une constante \(C\) près.

Donc il existe \(C \in \mathbb{R}\) tel que : \(\ln(ax) = \ln x + C\)

Pour \(x = 1\) , \(\ln a = C\) d'où \(\ln(ax) = \ln a + \ln x\)

En posant \(x = b\) on retrouve la relation (1).

Exemple : \(\ln 15 = \ln (3\times 5) = \ln 3 + \ln 5\)

Remarque : \(\forall(a,b) \in \left(\mathbb{R}_{-}^{\ast}\right)^{2} \quad \left(ab\right) >0 \textrm{ et } \ln(ab) = \ln \arrowvert a \arrowvert + \ln \arrowvert b\arrowvert\)

Exemple : \(\ln 15 = \ln((-3) (-5)) = \ln\arrowvert-3\arrowvert + \ln\arrowvert-5\arrowvert\)

• \(\forall \left(a,b\right) \in \left(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\right)^{2} \quad \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b\) (2)

Démonstration : 

A partir de la relation (1) nous avons :

\(\ln a = \ln \left(\frac{a}{b} \cdot b \right) = \ln \frac{a}{b} + \ln b\) d'où le résultat.

Exemple :

\(\ln \frac{3}{5} = \ln 3 - \ln 5\)

• \(\forall b \in \mathbb{R}_{+}^{\ast}\quad \ln \frac{1}{b} = - \ln b\)

Démonstration : 

Pour \(a = 1\), la relation (2) conduit à :

\(\ln \frac{1}{b} = \ln 1 - \ln b = - \ln b\)

Exemple :

\(\ln \frac{1}{5} = \ln 1 - \ln 5 = - \ln 5\)

• \(\forall n \in \mathbb{N}^{\ast}, \forall a_{i} \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \quad \displaystyle{\ln \left(\prod_{i=1}^{n} a_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n} \ln~ a_{i}}\)

Détail :

Cas particuliers : \(a_1 = a_2 = ... = a_n = a \in \mathbb{R}_{+}^{\ast}\)

si \(n \in \mathbb{N}^{\ast}\) :

\(\ln \underbrace{( a \times a \times ... \times a )}_{n \textrm{ fois}} = \underbrace{ \ln a + \ln a + ... + \ln a}_{n \textrm{ fois}}\)

\(\forall n \in \mathbb{N}^{\ast}, \forall a \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \quad \ln \left(a^{n}\right) = n \ln ~a\)

Exemple : \(\ln 16 = \ln \left(2^{4}\right) = 4 \ln 2\)

si \(n \in \mathbb{Z}\) :

pour \(n \in \mathbb{Z}_{+}^{\ast} \Leftrightarrow n \in \mathbb{N}^{\ast}\)

pour \(n=0 ~\ln\left(a^{0}\right)= \ln 1 = 0 = 0 \ln a = 0\)

pour \(n \in \mathbb{Z}_{-}^{\ast} \left(-n\right) > 0 \textrm{ et } \ln\left(a^{n}\right) = \ln \frac{1}{a^{-n}} = - \ln \left(a^{-n}\right) = n \ln a\)

\(\forall n \in \mathbb{Z}, \forall a \in \mathbb{R}_{+}^{\ast}\quad \ln \left(a^{n}\right) = n \ln a\)

Exemple : \(\ln \left(2^{-4}\right) = \ln \frac{1}{2^{4}} = - \ln \left(2^{4}\right) = -4 \ln 2\)

si \(n \in \mathbb{Q} : n = p/q \textrm{ avec } (p,q) \in (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{\ast})\)

pour \(n \in \mathbb{Q}_{+}^{*}\), posons

\(A = a^{n} = a^{{p}/{q}} \Leftrightarrow A^{q} = a^{p}\)

\(q \ln ~A = p \ln ~a \Leftrightarrow \ln ~A = \frac{p}{q} \ln ~a\)

\(\ln \left(a^{n}\right) = n \ln a\)

pour \(n \in Q_{-}^{\ast} ~(-n) > 0\) et posons

\(A= a^{n} = \frac{1}{a^{-n}} = \frac{1}{a^{-{p}/{q}}}\)

\(\ln A = - \ln \left(a^{-p/q} \right) = (-) \left(- \frac{p}{q}\right) \ln ~a = \frac{p}{q} \ln ~a\)

\(\ln\left(a^{n}\right) = n \ln a\)

\(\forall n \in \mathbb{Q}, \forall a \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \quad \ln \left(a^{n}\right) = n \ln~ a\)

Exemple : \(\ln\left(\sqrt[3]{4}\right) = \ln \left(2^{2/3}\right) = \frac{2}{3} \ln 2\)

Remarque : L'étude des fonctions puissances, permettra de montrer que cette relation est aussi valable pour \(n\) irrationnel et par conséquent :

\(\forall n \in \mathbb{R}, \forall a \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \quad \ln\left(a^{n}\right) = n \ln a\)

Exemple : \(\ln \left( 2^{\pi} \right) = \pi \ln 2\)