Étude de la fonction ln x

Cette partie comprend l'étude de la fonction \(\ln x\) et des fonctions composées \(\ln ~u(x)\) et \(\ln\arrowvert u(x)\arrowvert\) selon les rubriques suivantes :

  • Domaine de définition \(D_f\) de \(\ln x\) et Etude de \(\ln x\) aux bornes de \(D_f\)

  • Fonctions dérivées : \(\ln' (x)\) et \(\ln'' (x)\)

  • Tableau de variation et graphe de \(\ln x\)

  • Étude de la fonction composée : \(\ln u(x)\).

  • Étude de la fonction composée : \(\ln \arrowvert u(x)\arrowvert\).

Domaine de définition - Étude aux bornes

Domaine de définition \(D_f\) de \(\ln x\)

De par sa définition, la fonction ln est définie, dérivable (donc continue) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}~ ( \ln'(x) = 1 / x >0 )\)

Etude de \(\ln x\) aux bornes de \(D_f\)

Démonstration

\(\displaystyle{\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty}\)

La fonction \(\ln x\) étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) admet pour \(x\) tendant vers \(+\infty\) , une limite finie \(l\) ou une limite \(+ \infty\) .

Supposons l'existence d'une limite \(l\in\mathbb{R}\) quand \(x\) tend vers \(+ \infty\) alors :

\(\displaystyle{\lim_{x \to + \infty} \ln x \mapsto l \textrm{ et } \lim_{x \to + \infty} \ln(2x) \mapsto l}\)

or \(\ln (2x) = \ln 2 + \ln x \to \ln 2 + l \ne l\) car \(\ln 2\ne 0\) , ceci montre que

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty}\)

Démonstration

\(\displaystyle{\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0}\)

Pour \(x > 1\)

\(0< \textrm{Aire}(\textrm{PAMN}) < \textrm{Aire}(\textrm{PAM'N})\)

\(\displaystyle{0 < \ln x = \int_{1}^{x} \frac{\textrm{dt}}{\textrm{t}}<\int_{1}^{x} \frac{\textrm{dt}}{\sqrt{t}} = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) < 2 \sqrt{x}}\)

d'où

\(0 < \frac{\ln x}{x} < \frac{2}{\sqrt{x}}\)

On en déduit, à partir de cet encadrement[1], que

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0}\)

La courbe représentative de la fonction \(\ln\) admet une branche parabolique dans la direction asymptotique \((x' x)\).

Démonstration

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty}\)

Posons \(X = 1 / x\) avec \(X \to \infty\) quand \(x \to 0^{+}\) , d'où :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = \lim_{X \to +\infty} \ln \frac{1}{X} = \lim_{X\to +\infty} \left[-\ln X\right] = - \infty}\)

La courbe représentative de la fonction \(\ln\) admet la droite d'équation \(x = 0\) (axe des ordonnées) comme asymptote.

Fonctions dérivées

Par définition : \(\ln' (x) = 1 / x > 0\) , \(\ln\) strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).

Au point \(x = 1\) \(\ln' (1) = 1\) et la tangente à la courbe au point \((1,0)\) a pour coefficient directeur \(1\). Cette tangente est donc parallèle à la \(1\)ère bissectrice des axes dans un repère orthonormé. De plus, par définition de la dérivée de \(\ln\) en \(x = 1\) et du fait que \(\ln' (1) = 1\) nous avons :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 1} \frac{\ln x - \ln 1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}} = \ln' (1) = 1\)

donc

\(\displaystyle{\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1}\) ou \(\displaystyle{\lim_{X \to 0} \frac{\ln (1+X)}{X} = 1}\) (en posant \(X=x-1\))

D'où \(\ln (1+x) \sim x\) quand \(x \to 0\)

Par dérivation de \(\ln' (x)\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) :

\(\ln''(x) = -\frac{1}{x^{2}}<0\)

\(\ln\) est concave sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) .

Tableau de variation - Graphe

Fonction composée ln u(x)

Ensemble de définition \(D_f\)

La fonction \(f(x) = \ln(u(x))\) existe si \(u(x)\) existe et \(u(x) > 0\) d'où \(D_f = \{ x \in D_{u}~,~ u(x) > 0 \}\)

Exemple

\(x \mapsto \ln \frac{x+1}{x-3}\) existe \(\Leftrightarrow x-3 \ne 0\) et \(\frac{x+1}{x-3}>0\)

d'où \(D_{u} = \{x \in \mathbb{R} - \{3\} \}\)

et \(D_{f} : x \in ] - \infty, -1[ \cup ]3 ; +\infty[\)

Limite de \(f\) aux bornes de \(D_f\)

Dans le cas d'une fonction composée si \(x_0\) est une borne de \(D_f\) :

si \(\displaystyle{\lim_{x \to x_{0}} u(x) = l}\)

alors : \(\displaystyle{\lim_{x \to x_{0}} \ln (u(x)) = \lim_{u(x_{0}) \to l} \ln ~u(x) = \left\{\begin{array}{llll} \ln l ~\textrm{ si }~ l \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \\ -\infty ~\textrm{ si }~ l = 0^{+} \\ +\infty ~\textrm{ si }~ l=+\infty \end{array}\right.}\)

Exemple

\(f\) : \(x \mapsto \ln \frac{x+1}{x-3}\) est définie sur \(D_{f}\) : \(]-\infty, -1[ \cup ]3, +\infty[\)

Étude en \(-\infty\)

On a \(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}u(x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}=1}\)

soit \(X = \frac{x+1}{x-3}\)

donc \(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} \ln \frac{x+1}{x-3} = \lim_{X \to 1}~ \ln~ X = 0}\)

Étude en \(3^{+}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to 3^{+}} u(x) = + \frac{4}{0^{+}} = + \infty}\) donc \(\displaystyle{\lim_{x \to 3^{+}} \ln\left(\frac{x+1}{x-3}\right) = \lim_{X \to +\infty} \ln X = +\infty}\)

Etude semblable quand \(x \to -1^{-}\) et quand \(x \to +\infty\)

Dérivabilité de \(f\)

Si \(u(x)\) est dérivable sur \(D_f\) alors la fonction composée \(\ln \circ ~u\) est dérivable sur \(D_f\) et :

\(\forall x \in D_{f} \quad f'(x) = \ln' \left(u(x)\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}\)

Exemple

\(f\) : \(x \mapsto \ln \frac{x+1}{x-3}\) est définie sur \(D_{f} : ]-\infty ; -1[ \cup ]3 ; +\infty[\)

et comme la fonction rationnelle \(u(x) = \frac{x+1}{x-3}\) est dérivable sur \(\mathbb{R} - \{3\}\) , donc sur \(D_f\), on a :

\(\forall x\in D_{f} \qquad f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\)

or \(u'(x) = \frac{(x-3)-(x+1)}{(x-3)^{2}} = \frac{-4}{(x-3)^{2}}\)

donc

\(\forall x \in D_{f} \qquad f'(x) = \frac{-4}{(x-3)^{2}} \frac{(x-3)}{(x+1)} = \frac{-4}{(x-3)(x+1)}\)

Remarque

Comme \(u(x) > 0\quad \forall x \in D_f , f '(x)\) a sur \(D_f\) le signe de \(u'(x)\) qui dans cet exemple est négatif.

Donc \(f'(x) < 0\) pour \(x \in ] - \infty ; -1 [ \cup ] 3; + \infty [\)

Fonction composée ln |u(x)|

Ensemble de définition \(D_{g}\)

La présence de la valeur absolue modifie le domaine de définition .

La fonction \(g(x) = \ln \arrowvert u(x)\arrowvert\) existe si \(u(x)\) existe et \(u(x) \ne 0\), d'où \(D_f = \{ x \in D_{u}, u(x) \ne 0 \}\)

Exemple

\(x \mapsto \ln \left\arrowvert \frac{x+1}{x-3} \right\arrowvert\) existe \(\Leftrightarrow x-3 \ne 0\) et \(u(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -1\)

d'où \(D_{u} = \{ x \in \mathbb{R} - \{3\}\}\)

et \(D_g : x \in ] - \infty ; -1 [ \cup ] -1 ; 3 [ \cup ] 3; + \infty [\)

Limite de \(g\) aux bornes de \(D_g\)

En dehors de bornes supplémentaires et de la valeur absolue peu de modification dans l'étude des limites de \(g\) par rapport à celle de \(f\).

Dérivabilité de \(g\)

La valeur absolue ne modifie pas la fonction dérivée de \(\ln \arrowvert u(x)\arrowvert\).

En effet

\(\textrm{ si } u(x) > 0 \qquad g(x) = \ln ~u(x) ~\textrm{ et }~ g'(x) = \ln'(u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x)}\)

\(\textrm{ si } u(x) < 0 \qquad g(x) = \ln \left[-u(x)\right] ~\textrm{ et }~ g'(x) = \ln'\left[-u(x)\right] = \frac{-u'(x)}{-u(x)} = \frac{u'(x)}{u(x)}\)

d'où

\(\forall x\in D_{g} \qquad g'(x) = \ln' \arrowvert u(x)\arrowvert = \frac{u'(x)}{u(x)}\)

Exemple

\(g(x) = \ln \left \arrowvert \frac{x+1}{x-3} \right\arrowvert\)

\(\forall x \in D_{g} \qquad g'(x) = \frac{-4}{(x-3)(x+1)} \textrm{avec} \left\{\begin{array}{lll} g'(x)<0 \textrm{ si } x \in \left]-\infty ; -1 \right[ \cup \left]3 ; + \infty\right[ \\ g'(x) > 0 \textrm{ si } x \in \left]-1,3\right[ \end{array} \right.\)