Application réciproque
Soit \(f\) une application d'un ensemble \(E\) dans un ensemble \(F\).
Définition :
\(f\) est injective si : \(\forall (x, x') \in E^{2} , f (x) = f (x') ⇒ x = x'\) (\(f\) est strictement monotone)
\(f\) est surjective si : \(\forall y \in F ,~ \exists x \in E\) tel que \(y = f (x)\) (\(f\) est continue)
\(f\) est bijective , de \(E\) sur \(F\), si elle est injective et surjective, c-à-d, \(\forall y \in F\) il existe un unique \(x \in E\) tel que \(f (x) = y\). Notons-le \(x = f^{-1} (y)\). Cette application \(f^{-1}\) bijective de \(F\) sur \(E\) appelée "application réciproque" de \(f\) est caractérisée par : \(f^{-1} \circ f = Id_{E} \textrm{ et } f \circ f^{-1} = Id_{F}\)
Théorème :
Soient \(a, b \in \mathbb{R}^{2}, a < b\) et \(f\) une application, à valeurs réelles, définie, continue et strictement croissante (respectivement décroissante) sur \([a ,b]\).
Alors \(f\) est une application bijective de \([a, b]\) sur \([f (a),f (b)]\).
La fonction réciproque \(f^{-1}\) est continue et strictement croissante (respectivement décroissante) de \([f (a),f (b)]\) sur \([a, b]\).
Propriété :
Si \(f\) est dérivable sur \([a, b]\) et si \(∀x \in [a, b], f '(x) > 0\) ( ou \(f '(x) < 0\) ), l'application réciproque \(f^{-1}\) est dérivable sur \([f (a),f (b)]\) et on a :
\(1 = f'(y)\cdot \left[f^{-1}(x)\right]' \Leftrightarrow \left[f^{-1}(x)\right]' = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{f'\left[f^{-1}(x)\right]}\)
Le graphe de \(f^{-1}\), en axes orthonormés, est le symétrique de celui de \(f\) par rapport à la première bissectrice.