Fonction Arccosinus de x : Arccos x
Définition :
L'application \(\cos\) : \([0 ,~ \pi] \to [-1, 1]\) continue et strictement décroissante admet une fonction réciproque notée \(\cos^{-1}\) ou \(\textrm{Arccos}\) : \([-1, 1] \to [0 , \pi]\)
\(y = \textrm{Arccos }x \Leftrightarrow x = \cos y\)
\(x\in[-1,1] \textrm{ et } y \in \left[0, \pi\right]\)
\(\begin{array}{llll} \sin (\textrm{Arccos }x) = \sqrt{1-x^{2}} & \forall x \in[-1,1] \\ \cos (\textrm{Arccos }x) = x& \forall x \in[-1,1]\\\tan (\textrm{Arccos }x) = \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} & \forall x \in[-1,0[ \cup]0,1]\\\textrm{cotan }(\textrm{Arccos }x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} & \forall x \in]-1,1[ \end{array}\)
fonction ni paire, ni impaire.
fonction dérivable sur \(]-1,1[\) et :
\(\textrm{Arccos }' x = \frac{1}{\cos'(\textrm{Arccos }x)} = \frac{1}{-\sin(\textrm{Arccos }x)} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}<0\)
donc fonction décroissante sur \(]-1,1[\).
tableau de variation :
Représentation graphique de Arccos x
