Question 1

Durée : 15 mn

Note maximale : 6

Question

Sachant que les angles à l'intérieur d'un triangle vérifie la relation : \(A + B + C = \pi\), montrer que (\(\sin A + \sin B\)) s'exprime en fonction des angles \(A/2\), \(B/2\) et \(C/2\).

En déduire la valeur du coefficient \(k \in \mathbb{R}\) de l'expression :

\(\sin A + \sin B - \sin C = k \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}\)

Solution

Déterminons \(\sin A + \sin B\) :

\(\begin{array}{lll}\sin A + \sin B &= 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \\ & = 2 \sin \left(\frac{\pi - C}{2}\right) \cos \frac{A-B}{2}\end{array}\)

\(\sin A + \sin B = 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}\) (2pts)

Valeur de \(k\)

Sachant que \(\sin C = 2 \sin \frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}\) (1pt) , nous obtenons

\(\sin A + \sin B - \sin C = 2 \cos \frac{C}{2} \left(\cos \frac{A-B}{2} - \sin\frac{C}{2}\right)\)

mais \(\sin \frac{C}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}\right) = \cos \frac{A+B}{2}\) (1pt)

et \(\left(\cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2} \right) = 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}\)

d'où

\(\sin A + \sin B - \sin C = 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}\)

et \(k = 4\) (2pts)