Physique
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Espace vectoriel / Sous-espace vectoriel
Définition

On dit que l'ensemble , non vide, est un espace vectoriel sur ( = ou ) ou -espace vectoriel si est muni des deux lois de composition :

  • loi de composition interne "addition" :

    vérifiant :

    • (associativité)

    • (commutativité)

    • (avec  : élément neutre)

    • ( : élément symétrique)

       : structure de groupe abélien

  • loi de composition externe "multiplication par un scalaire" :

    vérifiant :

Les éléments de sont appelés "vecteurs", les éléments de sont appelés "scalaires".

On dit qu'une partie , non vide, d'un espace vectoriel sur ( = ou ) est un sous -espace vectoriel de si et seulement si

OU

  • et

Propriété

ou

Les éléments neutres de ( ) et de ( ) peuvent être représentés par le même symbole .

Exemple : Ensemble des vecteurs de R3 en géométrie

Ensemble des vecteurs de en géométrie

  • Loi de composition interne : addition vectorielle, notée " "

    Associativité :

    Commutativité  :

    Elément neutre  :

    Elément symétrique  :

  • Loi de composition externe : multiplication par un scalaire

  • Ensemble des polynômes de degré est un espace vectoriel réel.

  • Ensemble des matrices carrées d'ordre est également un espace vectoriel réel.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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