Physique
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Application linéaire

Soient et deux espaces vectoriels sur un même corps ( = ou ).

Définition
  • Une application de dans est une relation qui à tout élément , associe l'élément unique .

  • L'application est dite linéaire quand elle possède les deux propriétés suivantes :

    • et

    Formulation plus condensée :

    et

  • Une application linéaire de dans (considérée comme un espace vectoriel sur lui-même) est appelée forme linéaire.

    Vocabulaire :

    On appelle homomorphisme une application linéaire de dans (on dira Isomorphisme si est bijective).

    On appelle endomorphisme une application linéaire de dans (on dira Automorphisme si est bijective).

    On appelle noyau de , l'ensemble des vecteurs dont l'image par est le vecteur nul

    On appelle image de , l'ensemble des vecteurs tels qu'il existe un vecteur vérifiant : .

    On appelle rang de l'application linéaire la dimension du sous-espace image ( ou ).

    ( )

Propriété
  • Une application linéaire est complètement déterminée par les données des images des vecteurs de base.

    En effet, si est une base de ,

    D'après la linéarité de l'application :

    La connaissance des images des vecteurs de base entraîne la détermination de .

  • Si et sont deux espaces vectoriels sur le même corps , en notant :

    l'ensemble des applications linéaires de dans et l'ensemble des applications linéaires de dans ,

    alors ces deux ensembles sont des espaces vectoriels sur pour les opérations suivantes :

    • Addition :

    • Multiplication par un scalaire :

  • Soient , et trois espaces vectoriels sur et soit une application linéaire de dans et une application de dans .

    • On appelle application composée de par et l'on note , l'application de dans qui à tout élément associe l'élément de tel que :

    • La composée de deux applications linéaires est :

      • une application linéaire

      • distributive par rapport à l'addition

        ,

        soit ,

        de façon similaire :

Exemple
  • Toute application de dans qui, au vecteur , fait correspondre le vecteur de tel que :

    • ,

    ( , , , , et sont des constantes) sont linéaires.

  • Dans l'espace vectoriel de fonctions numériques, l'opérateur dérivation est linéaire:

    • ,

    • (avec une constante).

  • Dans l'espace vectoriel , la projection sur un plan , parallèlement à une droite est une application linéaire :

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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