Base d'un espace vectoriel

Définition

On appelle base d'un espace vectoriel \(E\), toute famille (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\)) libre et génératrice de \(E\).

Propriété

  • Si (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\)) est une base de \(E\), tout vecteur \(x \in E\) s'exprime de façon unique dans cette base :

    \(\forall x \in E,~\exists~a_{1}, a_{2}, ... a_{n} \in \mathbb{K}\) tels que : \(\color{blue} x = a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}+ ... a_{n} x_{n}\)

  • Les scalaires \(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}\) sont appelés coordonnées (ou composantes) de \(x\) dans la base (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\)).

  • Tout espace vectoriel admet au moins une base.

  • Toutes les bases d'un même espace vectoriel \(E\) ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est la dimension de \(E\) (\(\textrm{dim}~E\)).

Exemple

  • Dans \(R^{2}\), deux vecteurs \(\overset{\rightarrow}{i}\) et \(\overset{\rightarrow}{j}\), non colinéaires forment une base de \(R^{2}\).

    \(\forall x \in \mathbb{R}^{2}, \quad \color{blue} \overset{\rightarrow}{x} = \alpha \overset{\rightarrow}{i} + \beta \overset{\rightarrow}{j} \color{black}\left( \textrm{dim}~\mathbb{R}^{2} = 2 \right)\)

    (\(R^{2}\) : espace vectoriel de dimension 2)

  • L'espace \(R_{2}[X]\) des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 est de dimension 3; une base est donnée par : \((1, x, x^{2})\);

    \(\forall P \in R_{2}[X] : P(x) = a + \alpha x + \gamma x^{2}\)

  • L'ensemble \(M_{2}~(\mathbb{R})\) des matrices carrées de dimension 2 est un espace vectoriel de dimension 4; une base est donnée par :

    \(\textrm{E}_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ; \textrm{E}_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ; \textrm{E}_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ; \textrm{E}_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

    \(\forall M \in \mathcal{M}_{2} (\mathbb{R}) \quad M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a\textrm{E}_{11} + b\textrm{E}_{12} + c\textrm{E}_{21} + d\textrm{E}_{22}\)