Physique
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Dépendance et indépendance linéaires

Soient vecteurs d'un espace vectoriel et scalaires de ( ).

Définition

On appelle combinaison linéaire d'une famille de vecteurs ( ) de , tout vecteur de la forme : .

Une famille ( ) de est dite libre ou les vecteurs ( ) sont dits linéairement indépendants si et seulement si : .

Si la famille ( ) de n'est pas libre, on dit qu'elle est liée ou que les vecteurs ( ) sont linéairement dépendants.

Une famille ( ) de est génératrice de si pour tout vecteur on peut trouver éléments de tels que :

.

Propriété
  • L'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de est un sous-espace vectoriel de .

  • Si la famille ( ) est libre et si le vecteur n'est pas combinaison linéaire de , alors la famille ( ) est libre.

  • La famille ( ) est liée si et seulement si l'un au moins des vecteurs est combinaison linéaire des autres.

Exemple

Dans , les vecteurs et sont liés, car

Dans l'espace vectoriel des polynômes, est une famille libre.

Légende :
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