Physique
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Oscillateurs harmoniques en régime forcé
Le test comporte 5 questions :
Expression analytique des oscillations
Régime transitoire et régime forcé
Représentation complexe
Exploitation graphique
Déphasage
La durée indicative du test est de 35 minutes.
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Expression analytique des oscillations

Un oscillateur mécanique horizontal décrit par la figure ci-dessous, caractérisé par la pulsation propre et le coefficient d'amortissement , est soumis à la force d'excitation . L'oscillateur est tel que .

On rappelle que dans ce cas la position de la masse satisfait à l'équation différentielle :

  1. Identifiez les coefficients et de l'équation différentielle. (2 pts)

  2. Quelle est la forme de la solution générale de l'équation différentielle. Exprimez-la analytiquement. (6 pts)

Régime transitoire et régime forcé

On considère un oscillateur harmonique en régime forcé. Il s'agit d'un oscillateur mécanique décrit par la figure ci-dessous.

L'expression analytique de la position , au cours du temps , s'exprime par la fonction suivante :

représente le coefficient d'amortissement, et , et , et représentent respectivement les amplitudes, les pulsations et les phases à des deux fonctions ( et ) formant .

L'analyse de la réponse de l'oscillateur conduit au tracé des courbes représentées dans la figure ci-dessous :

  1. Indiquer à quelles fonctions correspond chacune des courbes. (2 pts)

  2. Quels sont les intervalles de temps correspondant aux régimes transitoire et permanent ? (1 pt)

  3. Déterminer graphiquement les valeurs numériques (pseudo-période) et (décrément logarithmique). En déduire les valeurs de la pseudo-pulsation et du coefficient d'amortissement. (3 pts)

  4. Déterminer graphiquement les valeurs de l'amplitude et de la pulsation des oscillations en régime permanent. En déduire la valeur de la pulsation de l'excitation. (2 pts)

Représentation complexe

On considère un oscillateur harmonique en régime forcé. Il s'agit d'un oscillateur mécanique de masse . Etablir l'expression de l'amplitude complexe en régime permanent sachant que l'équation différentielle associée au système s'écrit :

est le coefficient d'amortissement, la pulsation propre, l'amplitude de la force d'excitation et la pulsation de l'excitation.

Exploitation graphique

On considère la courbe de résonance suivante :

  1. Déterminer la pulsation de résonance . (1 pt)

  2. Rappeler la définition puis déterminer la bande passante . (2 pts)

  3. Dans le cas où l'amortissement est très faible, quelle est la signification du rapport entre la pulsation de résonance et la bande passante . (1 pt)

Déphasage

On considère un oscillateur en régime permanent soumis à une excitation harmonique.

Donner les valeurs du déphasage des oscillations par rapport à l'excitation pour les valeurs de pulsation d'excitation suivantes :

  • (1 pt)

  • (1 pt)

  • (1 pt)

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Expression analytique des oscillations
  1. (2 pts) Par définition, le coefficient est égal à représente le coefficient d'amortissement. Par conséquent, caractérise l'amortissement du système oscillant.

    Le coefficient est égal à représente la pulsation propre du système oscillant. Ainsi, caractérise la pulsation propre des oscillations.

  2. (6 pts) La solution générale de l'équation différentielle, , est la somme de deux fonctions, l'une étant la solution générale de l'équation différentielle sans second membre , la deuxième étant une solution particulière de l'équation différentielle :

    • L'expression analytique de la fonction est déterminée simplement en résolvant l'équation différentielle sans second membre :

      La forme de la solution générale de cette équation dépend du signe du discriminant de l'équation caractéristique associée :

      Le discriminant réduit de cette équation est donc égal à : . Or, d'après l'énoncé, on sait que , par conséquent , c'est-à-dire que le régime est pseudo-périodique. La solution générale de l'équation différentielle sans second membre est donc égal à :

      et représente respectivement la phase à l'origine et l'amplitude maximale de la fonction . Ces constantes sont déterminées à partir des conditions initiales et en tenant compte de l'expression de la solution générale de l'équation différentielle complète (avec second membre). La pulsation représente quant à elle la pseudo-pulsation et est égale à .

    • L'expression analytique de la fonction dépend de la forme du second membre de l'équation différentielle. Le second membre, égal à , est harmonique, de pulsation . Une solution particulière de l'équation différentielle s'écrit donc :

      Les paramètres et sont déterminés à partir des données du problème.

    Finalement la solution de l'équation différentielle décrivant la réponse de l'oscillateur est égale à :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
Régime transitoire et régime forcé

1. (2 pts)

La courbe 2 est une sinusoïde parfaite. Elle correspond donc à .

La courbe 1 est une sinusoïde amortie. Elle correspond donc à .

La courbe 3 est la somme des courbes 1 et 2. Elle correspond donc à .

2. (1 pt)

Le régime permanent est défini pour alors que le régime transitoire est défini pour .

Ainsi, à partir de la figure on voit que le régime permanent est atteint pour . On a donc :

3. (3 pts)

  • La figure montre qu'à partir de la courbe 1, il est possible de mesurer la pseudo-période :

    Par conséquent,

  • Pour mesurer le décrément logarithmique, on mesure par exemple les amplitudes de 2 minima successifs de la sinusoïde amortie (courbe 1) et on a :

    pour le premier minimum :

    pour le deuxième minimum :

    Par conséquent, on a :

  • On en déduit alors le coefficient d'amortissement par la relation :

4. (2 pts)

  • L'amplitude des oscillations en régime permanent est mesurée à partir de la courbe 2, et on a :

  • On détermine la période des oscillations à partir de la courbe 3 :

  • La pulsation des oscillations de l'excitation n'est autre que la pulsation que nous venons de calculer puisqu'on est en régime permanent.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
Représentation complexe

En régime permanent, on a .

On écrit l'équation différentielle sous forme complexe :

avec :

est l'amplitude complexe et est égale à .

On a alors :

soit :

Par conséquent, l'amplitude complexe s'écrit :

0
1
2
3
Exploitation graphique

1. (1 pt) La pulsation de résonance est localisée au pic comme le montre la figure suivante :

Sa valeur est égale à :

Remarque

On fera attention à l'échelle des pulsations du graphique puisque celle-ci est logarithmique.

2. (2 pts) La bande passante est définie par les deux pulsations et telle que

, où et vérifient :

Graphiquement, on détermine . Par conséquent, . On trouve et comme le montre la figure suivante :

La bande passante est donc égale à :

3. (1 pt) Lorsque l'amortissement est très faible, on montre que c'est-à-dire que la bande passante est très étroite, ce qui signifie que est très grand.

0
1
2
3
4
Déphasage

On rappelle la relation du déphasage des oscillations par rapport à l'excitation :

est le coefficient d'amortissement, la pulsation de l'excitation et la pulsation propre des oscillations.

Si , l'oscillateur et l'excitateur sont en phase, par conséquent . (1 pt)

Si , l'oscillateur et l'excitateur sont en quadrature retard de phase, par conséquent . (1 pt)

Si , l'oscillateur et l'excitateur sont en opposition de phase, par conséquent, . (1 pt)

0
1
2
3
Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/26
Seuil critique :10
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :35 min.
Conclusion :
Légende :
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