Conséquence de la loi de Hardy-Weinberg - Modèle de base
1 locus diallèlique autosomique
Dans une population panmictique dont l'effectif peut être assimilé à l'infini et en absence de sélection, de mutation, de migration, un équilibre concernant la distribution des fréquences génotypiques sera atteint en un seul cycle de reproduction. Les fréquences génotypiques seront données par le développement de \((p+q)^{2}\), p et q étant les fréquences des deux allèles dans cette population.
Fréquence de l'allèle \(A_{1}\) et de l'allèle \(A_{2}\) dans la population à la génération n+ 1
\(A_{1}~A_{1}\) | \(A_{1}~A_{2}\) | \(A_{2}~A_{2}\) | |
n | \(p^{2}\) | \(2pq\) | \(q^{2}\) |
\(n+1\) | \(F(A_{1}) = p^{2} = \frac{1}{2}(2pq) = p(p + q) = p\) |
\(F(A_{2}) = q^{2} = \frac{1}{2}(2pq) = q(p + q) = q\) |
On n'a donc pas de modification des fréquences allèliques :
à la génération n , on a p et q ;
à la génération n+1 , on a p et q.
Fréquence des génotypes(\(A_{1}~A_{1}\)) à la génération n+ 1
femelle \ mâle | \(p^{2}\) | \(2pq\) | \(q^{2}\) | Génération n+1 |
\(p^{2}A_{1}~A_{1}\) | \(A_{1}A_{1}\) | \(\frac{1}{2} A_{1}A_{1}\) | Pas de \(A_{1}A_{1}\) | |
\(2pq A_{1}A_{2}\) | \(\frac{1}{2} A_{1}A_{1}\) | \(\frac{1}{4} A_{1}A_{1}\) | ||
\(q^{2}A_{2}A_{2}\) | Pas de \(A_{1}A_{1}\) | |||
Fréquence de \((A_{1}~A_{1}\)) à la génération n+1
\(F(A_{1}A_{1}) \\ = (p^{2})^{2} + \frac{1}{2}(2pq.p^{2}) + \frac{1}{2}(p^{2}.2pq) + \frac{1}{4}(2pq)^{2} \\ = p^{4} + p^{3}q + p^{3}q + p^{2}q^{2} \\ = p^{2}~(p^{2} + 2pq + q^{2}) \\ = p^{2}\)
La fréquence du génotype (\(A_{1}A_{1}\)) ne change donc pas en passant de la génération n à la génération n+ 1.
Même démonstration pour les génotypes (\(A_{2}A_{2}\)) et (\(A_{1}A_{2}\)).
Ainsi, dès que la population est à l'équilibre de Hardy Weinberg, la structure génotypique ne varie plus.
Dans de très nombreux exemples les fréquences observées dans les populations naturelles sont conformes à celles attendues par la loi de Hardy-Weinberg.
Exemple : Les groupes sanguins MN chez l'homme
Fréquence des groupes sanguins MN chez les Américains de race blanche (d'après Stern, 1960)
Groupes | ||||
MM | MN | NN | ||
Effectifs : | 1787 | 3039 | 1303 | Total, N = 6129 |
Fréquence de M = ( 1787 x 2 + 3039 ) / ( 2 x 6129 ) = 0,540 = p
Fréquence de N = ( 1303 x 2 + 3039 ) / ( 2 x 6129 ) = 0,460 = q
Proportion attendue de MM = p² = ( 0,540 )² = 0,2916
Proportion attendue de MN = 2pq = 2 ( 0,540 )( 0,460 ) = 0,4968
Proportion attendue de NN = q² = ( 0,460 )² = 0,2116
Effectifs attendus d'après Hardy-Weinberg :
pour MM = p²N = 0,2916 x 6129 = 1787,2
pour MN = 2pqN = 0,4968 x 6129 = 3044,9
pour NN = q²N = 0,2116 x 6129 = 1296,9
Dans le cas présent, il est inutile de faire un \(\chi^{2}\) pour voir que les effectifs réels ne sont pas statistiquement différents de ceux prévus.
1 locus triallélique autosomique codominant
Soient 3 allèles : \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(A_{3}\)
Si fréquence de l'allèle :
\(A_{1}\) = p
\(A_{2}\) = q
\(A_{3}\) = r
on a pour les 6 génotypes :
\(A_{1}A_{1}\) | \(A_{1}A_{2}\) | \(A_{1}A_{3}\) | \(A_{2}A_{2}\) | \(A_{2}A_{3}\) | \(A_{3}A_{3}\) | |
Fréquences génotypiques à l'équilibre Hardy-Weinberg | \(p^{2}\) | \(2pq\) | \(2pr\) | \(q^{2}\) | \(2qr\) | \(r^{2}\) |
\(A_{1}\) p | \(A_{2}\) q | \(A_{3}\) r | ||
\(A_{1}\) | p | \(p^{2}\) | pq | pr |
\(A_{2}\) | q | pq | \(q^{2}\) | qr |
\(A_{3}\) | r | pr | qr | \(r^{2}\) |