Fonction propre d'un opérateur et valeur propre associée
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
Montrer que la fonction\(\mathrm{\Psi(\textrm{x}) = \exp [ipx/ \hbar]}\)(où p et\(\hbar\)sont des constantes) est fonction propre de l'opérateur hamiltonien\(\widehat{\textrm{H}}\)défini par :
\(\widehat{\textrm{H}} = - \mathrm{\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}}\) (où m est une constante),
et trouver la valeur propre correspondante.
Solution
Si la fonction\(\Psi(\textrm{x})\)est fonction propre de l'opérateur\(\widehat{\textrm{H}}\). elle doit vérifier l'équation aux valeurs propres
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}} \Psi(x) = \alpha\Psi(x)}\)
dans laquelle le nombre\(\alpha\)est la valeur propre associée à \(\Psi(\textrm{x})\).
Pour démontrer cela, on fait agir l'opérateur sur la fonction :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}} \Psi(x) = - \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\Psi(x)}\)
La dérivée seconde de\(\Psi(\textrm{x})\)est :
\(\mathrm{\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\Psi(x) = \frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\exp [ipx/ \hbar] = \frac{i}{\hbar}P\frac{ \partial}{ \partial x}\exp [ipx/ \hbar] = - \frac{P^{2}}{\hbar^{2}}\exp [ipx/ \hbar]}\)
Il vient donc :\(\mathrm{- \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\Psi(x) = + \frac{P^{2}}{2m}\exp [ipx/ \hbar] = + \frac{P^{2}}{2m}\Psi(x)}\)
La fonction\(\Psi(\textrm{x})\)vérifie donc l'équation aux valeurs propres de l'opérateur\(\widehat{\textrm{H}}\)
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}\Psi(x) = \frac{P^{2}}{2m}\Psi(x)}\)
où la valeur propre qui lui est associée vaut :
\(\mathrm{\alpha = \frac{P^{2}}{2m}}\)