Particule sur un segment
Durée : 15 mn
Note maximale : 5
Question
Soit\(\Psi_{\textrm{n}}(\textrm{x,t})\)une fonction d'onde stationnaire décrivant un état quantique d'une particule de masse m, astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes\(\textrm{X} = 0\) et \(\textrm{X} = \textrm{L}\).
La particule n'est soumise à aucune énergie potentielle sur le segment.
On ne travaille que sur la partie spatiale de la fonction d'onde que l'on prend sous la forme suivante :
\(\mathrm{\Psi_{n}(x) = A\sin(n\pi x/L)}\)
où\(\textrm{A}\)est une constante de normalisation réelle positive et n un entier strictement positif.
Montrer que la fonction\(\mathrm{\Psi_{n}(x)}\)est fonction propre de l'opérateur\(\widehat{\textrm{H}}\)défini par :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}} = - \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}}\).
et déterminer la valeur propre\(\alpha_{\textrm{n}}\)correspondante.
Solution
Si la fonction\(\mathrm{\Psi_{n}(x)}\)est fonction propre de l'opérateur\(\widehat{\textrm{H}}\). elle doit vérifier l'équation aux valeurs propres
\(\mathrm{\widehat{H} \Psi_{n}(x) = \alpha_{n}\Psi_{n}(x)}\)
dans laquelle le nombre\(\alpha_{\textrm{n}}\)est la valeur propre associée à \(\Psi_{\textrm{n}}(\textrm{x})\).
Pour démontrer cela, on fait agir l'opérateur sur la fonction :
\(\mathrm{\widehat{H} \Psi_{n}(x) = - \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\Psi_{n}(x)}\)
La dérivée seconde de\(\Psi_{\textrm{n}}(\textrm{x})\)est :
\(\mathrm{\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\Psi_{n}(x) =A \frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\sin (n\pi x/ L) = \frac{n\pi A}{L}\frac{ \partial}{ \partial x}\cos (n\pi x/L)}\)
\(\mathrm{\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\Psi_{n}(x) =- \frac{ n^{2}\pi^{2}A}{ L^{2}}\sin (n\pi x/ L) = -\frac{ n^{2}\pi^{2}}{ L^{2}}\Psi_{n}(x)}\)
Il vient donc :\(\mathrm{- \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\Psi_{n}(x) = + \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}n^{2}\Psi_{n}(x)}\)
La fonction\(\Psi_{\textrm{n}}(x)\)vérifie donc l'équation aux valeurs propres de l'opérateur\(\widehat{\textrm{H}}\)
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}\Psi_{n}(x) = + \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}n^{2}\Psi_{n}(x)}\)
où la valeur propre qui lui est associée vaut :
\(\mathrm{\alpha_{n} = + \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}n^{2}}\)