Particule sur un plan
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
Soit\(\Psi_{\textrm{n}}(x)\)une fonction propre d'un opérateur\(\widehat{\textrm{H}}_{x}\)n'agissant que sur les fonctions de la variable\(\textrm x\). C'est une fonction décrivant un état quantique stationnaire d'une particule de masse\(\mu\), astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes\(x = 0\) et \(x = L\).
La valeur propre associée à\(\Psi_{\textrm n}(\textrm x)\)est\(\textrm{E}_{\textrm{n}}\). On donne :
\(\mathrm{\Psi_{\textrm{n}}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\textrm{n}\pi x/L)}\);\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}_{x} = - \frac{\hbar^{2}}{2\mu}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}}\)
\(\mathrm{\textrm{E}_{\textrm{n}} = + \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2\mu L^{2}}n^{2}}\)
Soit\(\Psi_{\textrm{m}}(\textrm y)\)une fonction propre d'un opérateur\(\widehat{\textrm{H}}_{\textrm y}\)n'agissant que sur les fonctions de la variable\(\textrm y\). C'est une fonction décrivant un état quantique stationnaire d'une particule de masse m, astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes\(y = 0\) et \(y = L\).
La valeur propre associée à\(\Psi_{\textrm{m}}(\textrm x)\)est\(\textrm{E}_{\textrm{m}}\). On donne :
\(\mathrm{\Psi_{\textrm{m}}(y) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(m\pi y/L})\);\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}_{y} = - \frac{\hbar^{2}}{2\mu}\frac{ \partial^{2}}{ \partial y^{2}}}\)
\(\mathrm{\textrm{E}_{\textrm{m}} = + \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2\mu L^{2}}\textrm{m}^{2}}\)
Montrer que les fonctions de la forme
\(\mathrm{\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) =\frac{2}{L}\sin(\textrm{n}\pi x/L)\sin(\textrm{m}\pi y/L)}\)
sont fonctions propre de l'opérateur énergie cinétique et déterminer les valeurs propres possibles.
Solution
L'opérateur énergie cinétique s'écrit pour une particule se déplaçant dans le plan xOy :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{T}} = - \frac{\hbar^{2}}{2\mu}\bigg(\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}} - \frac{ \partial^{2}}{ \partial y^{2}}\bigg) = \widehat{\textrm{H}}_{x} + \widehat{\textrm{H}}_{y}}\)
C'est un opérateur découplé ; ses fonctions propres peuvent se mettre sous la forme du produit des fonctions propres de\(\widehat{\textrm{H}}_{x}\)et\(\widehat{\textrm{H}}_{y}\).
Les fonctions
\(\mathrm{\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) =\frac{2}{L}\sin(\textrm{n}\pi x/L)\sin(\textrm{m}\pi y/L)}\)
sont justement le produit des fonctions\(\Psi_{\textrm{n}}(x)\)et\(\Psi_{\textrm{m}}(y)\)qui sont respectivement fonctions propres des opérateurs\(\widehat{\textrm{H}}_{x}\)et\(\widehat{\textrm{H}}_{y}\). Ce sont donc des fonctions propres de\(\widehat{\textrm{T}}\)dont les valeurs propres prennent la forme :
\(\mathrm{\textrm{E}_{\textrm{nm}} = \textrm{E}_{\textrm{n}} + \textrm{E}_{\textrm{m}} = + \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2\mu L^{2}}(\textrm{n}^{2} + \textrm{m}^{2})}\)
Représentation des carrés des fonctions \(\Psi_{11}(x,y)\),\(\Psi_{12}(x,y)\),\(\Psi_{21}(x,y)\)et\(\Psi_{22}(x,y)\)
On a représenté ci-dessous les carrés des fonctions\(\Psi_{11}(x,y)\),\(\Psi_{12}(x,y)\),\(\Psi_{21}(x,y)\)et\(\Psi_{22}(x,y)\) qui donnent la densité de probabilité de présence dans ces états.
