Calcul de la compacité dans le système cubique centré
Partie
Question
Soit une maille de type cubique centré d'arête a contenant des atomes assimilés à des sphères tangentes de rayon R. La maille contient Z atomes.
Déterminer la compacité de cette maille.
Aide simple
Le volume d'une sphère est \(\mathrm{V=\frac{4}{3}\pi~R^3}\).
Aide méthodologique
Exprimer la compacité du cristal en fonction de Z, R et a.
Déterminer le nombre de groupements formulaires Z dans la maille.
Représenter la maille en identifiant un plan dans lequel les atomes sont tangents.
Déterminer la relation entre R et a, imposée par le fait que les sphères sont tangentes.
Solution détaillée
Soit V le volume d'un atome :
\(\mathrm{V=\frac{4}{3}\pi~R^3}\)
la compacité s'exprime comme le rapport :
\(\mathrm{C=\frac{Z~V}{a^3}=\frac{4Z}{3}\pi\left(\frac{R}{a}\right)^3}\)
La maille cc est représentée ci-dessous. Les atomes sont tangents dans le plan indiqué sur la figure. Dans ce plan, les atomes sont tangents sur la grande diagonale du cube.
Sur la diagonale, de longueur \(\mathrm{a\sqrt3}\), on a :
\(\mathrm{a\sqrt3=4R}\) soit \(\mathrm{R=a\frac{\sqrt3}{4}}\)
Dans la maille, chaque atome situé sur un sommet compte pour un huitième. Il y a huit sommets. L'atome situé au centre de la maille compte pour un. Le nombre de groupements formulaires est :
\(\mathrm{Z=8\times\frac{1}{8}+1\times1=2}\)
Le volume d'un atome est alors :
\(\mathrm{V=\frac{4}{3}\pi~R^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a\sqrt3}{4}\right)^3=\frac{\sqrt3}{16}\pi~a^3}\)
La compacité est :
\(\mathrm{C=\frac{Z~V}{a^3}=2\times\frac{\sqrt3}{16}\pi~a^3\times\frac{1}{a^3}=\frac{\sqrt3}{8}\pi=0,68}\)