Ensemble R^N. Structure algébrique, structure d'ordre [Suites de nombres réels]

Ensemble R^N. Structure algébrique, structure d'ordre

Les suites réelles étant des applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$ , on définit des opérations sur l'ensemble $\mathbb R^{\mathbb N}$ des suites réelles à partir des opérations sur $\mathbb R$ (cf. cours d'algèbre). De même pour la relation d'ordre à partir de la relation d'ordre sur $\mathbb R$ . Ainsi $\mathbb R^{\mathbb N}$ muni des deux lois :

addition (définie pour $(u_n)$ et $(v_n)$ $\in\mathbb R^{\mathbb N}$ par $(u_n)+(v_n) =(u_n+v_n)$ )

multiplication par un réel (définie pour $\lambda\in\mathbb R$ et $(u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}$ par $\lambda(u_n)=(\lambda u_n)$ ).

est un espace vectoriel sur $\mathbb R$ . L'élément neutre de l'addition est la suite nulle:

$(0)\quad(\forall n\in\mathbb N,u_n=0)$

Exemple :

L'ensemble des suites qui vérifient $\displaystyle{(\forall n\in\mathbb N)\quad u_{n+2}=u_{n+1}+u_n}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^{\mathbb N}$ .

On peut également définir sur $\mathbb R^{\mathbb N}$ la multiplication pour $(u_n)$ et $(v_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}$ par

$\displaystyle{(u_n)(v_n)=(u_nv_n)}$

$\mathbb R^{\mathbb N}$ devient un anneau commutatif unitaire dont l'élément unité est la suite

$\displaystyle{(1)\quad(\forall n\in\mathbb N,u_n=1)}$

Remarque :

L'anneau $\mathbb R^{\mathbb N}$ admet des diviseurs de $0$ , c'est à dire que le produit de deux suites non nulles peut être la suite nulle.

Ainsi soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies par :

${\left\{\begin{array}{ll}u_0=1, &\\u_{n}=0 & n\geq 1\end{array}\right.}$

${\left\{\begin{array}{ll}v_0=0, &\\v_{n}=1 & n\geq 1\end{array} \right.}$

On a $(u_n)\neq(0),(v_n)\neq0,(u_n)(v_n)=(0)$ .

L'anneau $\mathbb R^{\mathbb N}$ n'est donc pas un corps ; toutefois si, pour tout entier $n, u_n$ est différent de $0$ , on peut définir l'inverse de la suite $(u_n)$ qui est la suite

$\frac{1}{(u_n)}=\Big(\frac{1}{u_n}\Big)$ .

Relation d'ordre sur $\mathbb R^\mathbb N$

Définition :

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles ; on dit que $(v_n)$ majore $(u_n)$ ou $(u_n)$ minore $(v_n)$ si l'on a :

$\forall n\in\mathbb N,u_n\leq v_n$

On note $(u_n)\leq(v_n)$ .

On vérifie immédiatement qu'il s'agit d'une relation d'ordre et que cet ordre n'est pas total. Deux suites quelconques ne sont pas en général comparables.

Exemple :

On considère à nouveau la suite $\displaystyle{\left(\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\right)}_{n\geq 2}$ .
Les inégalités $n+(-1)^n\sqrt n\geq n-\sqrt n>0$ entraînent : $\displaystyle{\forall n\geq 2,\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\leq\frac{1}{n-\sqrt n}}$
La suite $\displaystyle{\left(\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\right)}_{n\geq 2}$ est majorée par la suite $\displaystyle{\left(\frac{1}{n-\sqrt n}\right)_{n\geq 2}}$
La suite $\displaystyle{\left(\frac{\cos n}{n}\right)_{n\geq 1}}$ vérifie $\displaystyle{\forall n\geq 1,\left\vert\frac{\cos n}{n}\right\vert\leq\frac{1}{n}}$ .
Elle est majorée en valeur absolue par la suite $\Big(\frac{1}{n}\Big)_{n\geq 1}$ .

Sur $\mathbb R^{\mathbb N}$ la relation : $\prec$

$(u_n)\prec(v_n)$ si $\exists n_0\in\mathbb N,\forall n\geq n_0,u_n\leq v_n$

est une relation d'ordre.

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