Ensemble R^N. Structure algébrique, structure d'ordre
Les suites réelles étant des applications de \(\mathbb N\) dans \(\mathbb R\), on définit des opérations sur l'ensemble \(\mathbb R^{\mathbb N}\) des suites réelles à partir des opérations sur \(\mathbb R\) (cf. cours d'algèbre). De même pour la relation d'ordre à partir de la relation d'ordre sur \(\mathbb R\). Ainsi \(\mathbb R^{\mathbb N}\) muni des deux lois :
addition (définie pour \((u_n)\) et \((v_n)\) \(\in\mathbb R^{\mathbb N}\) par \((u_n)+(v_n) =(u_n+v_n) \))
multiplication par un réel (définie pour \(\lambda\in\mathbb R\) et \((u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}\) par \(\lambda(u_n)=(\lambda u_n)\)).
est un espace vectoriel sur \(\mathbb R\). L'élément neutre de l'addition est la suite nulle:
\((0)\quad(\forall n\in\mathbb N,u_n=0)\)
Exemple :
L'ensemble des suites qui vérifient \(\displaystyle{(\forall n\in\mathbb N)\quad u_{n+2}=u_{n+1}+u_n}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^{\mathbb N}\).
On peut également définir sur \(\mathbb R^{\mathbb N}\) la multiplication pour \((u_n)\) et \((v_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}\) par
\(\displaystyle{(u_n)(v_n)=(u_nv_n)}\)
\(\mathbb R^{\mathbb N}\) devient un anneau commutatif unitaire dont l'élément unité est la suite
\(\displaystyle{(1)\quad(\forall n\in\mathbb N,u_n=1)}\)
Remarque :
L'anneau \(\mathbb R^{\mathbb N}\) admet des diviseurs de \(0\), c'est à dire que le produit de deux suites non nulles peut être la suite nulle.
Ainsi soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites définies par :
\({\left\{\begin{array}{ll}u_0=1, &\\u_{n}=0 & n\geq 1\end{array}\right.}\)
\({\left\{\begin{array}{ll}v_0=0, &\\v_{n}=1 & n\geq 1\end{array} \right.}\)
On a \((u_n)\neq(0),(v_n)\neq0,(u_n)(v_n)=(0)\) .
L'anneau \(\mathbb R^{\mathbb N}\) n'est donc pas un corps ; toutefois si, pour tout entier \(n, u_n\) est différent de \(0\), on peut définir l'inverse de la suite \((u_n)\) qui est la suite
\(\frac{1}{(u_n)}=\Big(\frac{1}{u_n}\Big)\).
Relation d'ordre sur \(\mathbb R^\mathbb N\)
Définition :
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites réelles ; on dit que \((v_n)\) majore \((u_n)\) ou \((u_n)\) minore \((v_n)\) si l'on a :
\(\forall n\in\mathbb N,u_n\leq v_n\)
On note \((u_n)\leq(v_n)\).
On vérifie immédiatement qu'il s'agit d'une relation d'ordre et que cet ordre n'est pas total. Deux suites quelconques ne sont pas en général comparables.
Exemple :
On considère à nouveau la suite \(\displaystyle{\left(\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\right)}_{n\geq 2}\).
Les inégalités \(n+(-1)^n\sqrt n\geq n-\sqrt n>0\) entraînent : \(\displaystyle{\forall n\geq 2,\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\leq\frac{1}{n-\sqrt n}}\)
La suite\( \displaystyle{\left(\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\right)}_{n\geq 2}\) est majorée par la suite \(\displaystyle{\left(\frac{1}{n-\sqrt n}\right)_{n\geq 2}}\)
La suite \(\displaystyle{\left(\frac{\cos n}{n}\right)_{n\geq 1}}\) vérifie\( \displaystyle{\forall n\geq 1,\left\vert\frac{\cos n}{n}\right\vert\leq\frac{1}{n}}\).
Elle est majorée en valeur absolue par la suite \(\Big(\frac{1}{n}\Big)_{n\geq 1}\).
Sur \(\mathbb R^{\mathbb N}\) la relation : \(\prec\)
\((u_n)\prec(v_n)\) si \(\exists n_0\in\mathbb N,\forall n\geq n_0,u_n\leq v_n\)
est une relation d'ordre.
Vrai ou faux?
Vrai
Faux