Suite définie implicitement (par une propriété)
Partie
Question
Soit \((u_n)\) avec \(u_n =\) n-ième décimale de \(\pi\), \((v_n)\) avec \(v_n =\) n-ième nombre premier, \((w_n)\), \((n> 1)\) avec \(w_n\) , racine positive de l'équation \(x^n + x^{n-1} + x^2 + x - 1 = 0\).
Montrer que la suite \((w_n)\) est bien définie.
Solution détaillée
Il s'agit d'un exemple d'interaction entre propriétés des suites et des fonctions. On note \(f_n\) la fonction polynomiale :
\(\displaystyle{f_n :x\mapsto x^n+x^{n+1}+x^2+x-1}\);
cette fonction est strictement croissante et continue sur l'intervalle \([0,+\infty[\), elle vérifie
\(\displaystyle{f_n(0)=-1}\) et \(f_n(x)\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\)
L'équation \((n\geq 2)\) \(f_n(x)=0\) admet donc une racine et une seule sur l'intervalle \(]0,+\infty[\), l'unicité étant assurée par la croissance stricte de la fonction et l'existence par la continuité (théorème des valeurs intermédiaires sur tout intervalle fermé et borné de la forme \([0,A]\)).