La suite est bien définie car \displaystyle{0<x<\frac{\pi}{2}} implique que toutes les tangentes sont définies.
[1 point]
Pour \displaystyle{0<\alpha<\frac{\pi}{4}}, on a \displaystyle{\textrm{tan }\alpha-\frac{1}{\textrm{tan }\alpha}=\frac{\textrm{sin }\alpha}{\textrm{cos }\alpha}-\frac{\textrm{cos }\alpha}{\textrm{sin }\alpha}=\frac{\textrm{sin}^2\alpha-\textrm{cos}^2\alpha}{\sin\alpha~\cos\alpha}=-\frac{2\textrm{cos }2\alpha}{\textrm{sin }2\alpha}=-\frac{2}{\textrm{tan }2\alpha}}.
[1 point]
On obtient alors \displaystyle{u_n=\left(\frac{1}{2\textrm{tan }\frac{x}{2}}-\frac{2}{2\textrm{tan }x}\right)+\left(\frac{1}{2^2\textrm{tan}\frac{x}{2^2}}-\frac{2}{2^2\tan\frac{x}{2}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^n\tan\frac{x}{2^n}}-\frac{2}{2^n\tan\frac{x}{2^{n-1}}}\right)}.
Compte tenu des simplifications entre deux termes consécutifs, on obtient :
\displaystyle{u_n=\frac{1}{2^n\tan\frac{x}{2^n}}-\frac{1}{\tan x}}.
[2 points]
Comme \displaystyle{\lim_{u\rightarrow0}\frac{\sin u}{u}=1}, on obtient \displaystyle{\lim_{u\rightarrow0}\frac{\tan u}{u}=1} et (u_n) converge vers \displaystyle{\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}}.
[2 points]