Exercice 1
Durée : 8 mn
Note maximale : 6
Question
Soit x un réel tel que \(\displaystyle{0<x<\frac{\pi}{2}}\), montrer que la suite de terme général \(\displaystyle{u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}\textrm{ tan}\frac{x}{2^k}}\) est convergente et donner sa limite.
Indication : calculer effectivement \(u_n\) en utilisant (après l'avoir démontrée) l'égalité \(\displaystyle{\textrm{tan }\alpha-\frac{1}{\textrm{tan }\alpha}=-\frac{2}{\textrm{tan }2\alpha}}\) pour \(\displaystyle{0<\alpha<\frac{\pi}{4}}\).
Solution
La suite est bien définie car \(\displaystyle{0<x<\frac{\pi}{2}}\) implique que toutes les tangentes sont définies.
[1 point]
Pour \(\displaystyle{0<\alpha<\frac{\pi}{4}}\), on a \(\displaystyle{\textrm{tan }\alpha-\frac{1}{\textrm{tan }\alpha}=\frac{\textrm{sin }\alpha}{\textrm{cos }\alpha}-\frac{\textrm{cos }\alpha}{\textrm{sin }\alpha}=\frac{\textrm{sin}^2\alpha-\textrm{cos}^2\alpha}{\sin\alpha~\cos\alpha}=-\frac{2\textrm{cos }2\alpha}{\textrm{sin }2\alpha}=-\frac{2}{\textrm{tan }2\alpha}}\).
[1 point]
On obtient alors \(\displaystyle{u_n=\left(\frac{1}{2\textrm{tan }\frac{x}{2}}-\frac{2}{2\textrm{tan }x}\right)+\left(\frac{1}{2^2\textrm{tan}\frac{x}{2^2}}-\frac{2}{2^2\tan\frac{x}{2}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^n\tan\frac{x}{2^n}}-\frac{2}{2^n\tan\frac{x}{2^{n-1}}}\right)}\).
Compte tenu des simplifications entre deux termes consécutifs, on obtient :
\(\displaystyle{u_n=\frac{1}{2^n\tan\frac{x}{2^n}}-\frac{1}{\tan x}}\).
[2 points]
Comme \(\displaystyle{\lim_{u\rightarrow0}\frac{\sin u}{u}=1}\), on obtient \(\displaystyle{\lim_{u\rightarrow0}\frac{\tan u}{u}=1}\) et \((u_n)\) converge vers \(\displaystyle{\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}}\).
[2 points]
Remarque :
On aurait pu dire que la suite est croissante majorée, pour montrer la convergence mais cela ne donnait rien sur la limite.
La condition \(\displaystyle{0<x<\frac{\pi}{2}}\) est suffisante pour l'existence de tous les termes mais elle n'est pas nécessaire.