Exercice 1

Durée : 8 mn

Note maximale : 6

Question

Soit x un réel tel que , montrer que la suite de terme général \displaystyle{u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}\textrm{ tan}\frac{x}{2^k}} est convergente et donner sa limite.

Indication : calculer effectivement u_n en utilisant (après l'avoir démontrée) l'égalité \displaystyle{\textrm{tan }\alpha-\frac{1}{\textrm{tan }\alpha}=-\frac{2}{\textrm{tan }2\alpha}} pour \displaystyle{0<\alpha<\frac{\pi}{4}}.