Exercice 4
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
On considère la suite \((u_n)\) définie par la donnée de \(u_0\) et la relation de récurrence \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N : u_{n+1}=\frac{5u_n-3}{u_n+1}}\).
Chercher les points fixes \(a\) et \(b\) de l'homographie \(\displaystyle{x\mapsto\frac{5x-3}{x+1}}\).
On suppose que \(u_0\) n'est pas un point fixe et est choisi pour que tous les termes soient définis. Introduire \(\displaystyle{v_n=\frac{u_n-a}{u_n-b}}\) et étudier la nature de \((u_n)\).
Solution
Cherchons les points fixes de l'homographie : \(\displaystyle{x=\frac{5x-3}{x+1}\Leftrightarrow x\in\{1,3\}}\)
Donc les points fixes sont 1 et 3.
[1 point]
Si \(u_0\) est égal à 1 ou 3 la suite est constante (donc convergente).
[1 point]
Si \(u_0\) n'est pas égal à 1, une récurrence immédiate montre que si \(u_n\) est défini, il est différent de 1.
[1 point]
Si \(u_n\) est défini et différent de 1, on définit \(\displaystyle{v_n=\frac{u_n-3}{u_n-1}}\) et on obtient alors (si \(u_{n+1}\) est défini et différent de 1)
\(\displaystyle{v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}-1}=\frac{\frac{u_n-3}{u_n+1}-3}{\frac{5u_n-3}{u_n+1}-1}=\frac{2u_n-6}{4u_n-4}=\frac{v_n}{2}}\)
On en déduit par récurrence que \(\displaystyle{v_n=\left(\frac{1}{2}\right)^nv_0}\) tend vers 0 quand \(n\) tend vers l'infini. Comme \(\displaystyle{u_n=\frac{v_n-3}{v_n-1}}\), \(u_n\) tend vers 3.
[4 points]
Valeurs de \(u_0\) pour lesquelles la suite n'est pas définie : ce sont celles pour lesquelles il existe un entier \(m\) tel que les termes d'indices 0 à \(m\) sont définis et \(u_m=-1\). On a alors \(v_m=2\), d'où l'on déduit que \(v_0=2^{m+1}\) et \(\displaystyle{u_0=\frac{2^{m+1}-3}{2^{m+1}-1}}\). Quand \(m\) décrit les entiers on obtient les valeurs pour lesquelles la suite n'est pas définie.
[3 points]
Illustrations :
10 termes, valeur initiale \(\displaystyle{\frac{3}{2}}\)
10 termes, valeur initiale \(\displaystyle{\frac{5}{7}}\), on n'obtient pas (avec Maple) d'image mais le message : Error, (in f) division by zero
( c'est le cas \(m=2\) ci-dessus)