Exercice 2

Durée : 8 mn

Note maximale : 6

Question

Les nombres \(a\) et \(b\) (\(a<b\)) désignent les deux racines (réelles) de \(x^2-x-1=0\).

  1. Montrer que pour tout entier \(n\), \(a^n+b^n\) est un entier.

  2. Etudier les suites de termes généraux \(\sin~2\pi a^n\) et \(\sin~2\pi b^n\).

Solution

  1. La somme \(a+b\) des racines du trinôme \(x^2-x-1\) vaut 1, c'est un entier. Utilisant l'équation, \(a^2=a+1\) et \(b^2=b+1\) d'où \(a^2+b^2=a+b+1+1=3\).

    Admettons la propriété à démontrer pour tous les exposants jusqu'à \(n-1\).

    On a alors \(a^n+b^n=a^{n-2}(a+1)+b^{n-2}(b+1)=a^{n-1}+b^{n-1}+a^{n-2}+b^{n-2}\) qui est un entier d'après l'hypothèse de récurrence.

    [3 points]

  2. Le trinôme \(x^2-x-1\) vaut \(1\) en \(-1\), \(-1\) en \(0\), \(-1\) en \(1\) et \(1\) en \(2\), les deux racines \(a\) et \(b\) sont donc telles que \(-1<a<0<1<b<2\).

    [1 point]

    On en déduit immédiatement que \(a^n\) tend vers 0 quand \(n\) tend vers l'infini et, la fonction sinus étant continue en 0, \(u_n\) tend vers 0.

    [1 point]

    D'après le 1. \(v_n=\sin~2\pi(a^n+b^n-a^n)=-\sin~2\pi a^n=-u_n\) qui tend vers 0 quand \(n\) tend vers l'infini.

    [1 point]

Remarque

On peut aussi calculer explicitement les racines, mais montrer directement que \(a^n+b^n\) est un entier n'est pas simple.