Exercice 2
Durée : 10 mn
Note maximale : 8
Question
On considère la suite \((u_n)\) définie par la donnée de \(u_0>0\) et la relation : pour tout entier \(n\) positif ou nul \(\displaystyle{u_{n+1}=\frac{u_n}{1+nu_n^2}}\).
Montrer que cette suite est convergente.
Montrer par récurrence sur \(n\) que \(\displaystyle{\forall n\ge2,~u_n\in\left]0,\frac{1}{n}\right]}\)
Montrer que \(nu_n\) tend vers 1 quand \(n\) tend vers l'infini.
Indication : majorer \(\displaystyle{\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}}\) puis \(\displaystyle{\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_2}}\) pour obtenir une minoration de \(nu_n\).
Solution
Si \(u_n\) est défini et positif, \(u_{n+1}\) l'est aussi, on en déduit par récurrence que la suite est bien définie et que tous les termes sont positifs. Il est clair alors que \(u_{n+1}<u_n\). La suite est décroissante minorée donc convergente.
Attention : ce n'est pas une suite du type \(u_{n+1}=f(u_n)\).
[1 point]
\(\displaystyle{u_2-\frac{1}{2}=\frac{2u_1-1-u_1^2}{2(1+u_1^2)}=\frac{-(1+u_1)^2}{2(1+u_1^2)}<0}\), donc \(\displaystyle{u_2\in\left]0,\frac{1}{2}\right]}\).
Admettons la propriété à l'ordre \(n\) et montrons que \(\displaystyle{u_{n+1}\in\left]0,\frac{1}{n+1}\right]}\). La fonction \(\displaystyle{f_n : x\mapsto\frac{x}{1+nx^2}}\) est croissante sur \(\displaystyle{\left]0,\frac{1}{n}\right]}\) (calculer sa dérivée pour le vérifier), on en déduit que \(\displaystyle{u_{n+1}=f_n(u_n)<f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n+1}}\) et la propriété s'en déduit par récurrence. Il est alors clair que la limite est 0.
[3 points]
Comme les termes sont non nuls, la formule de récurrence s'écrit \(\displaystyle{\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}=nu_n<1}\) compte tenu de 2. . En sommant les inégalités obtenues de \(2\) à \(n\), on obtient et en multipliant par \(u_n\) : \(\displaystyle{nu_n>1+2u_n-\frac{u_n}{u_2}}\).
Le terme \(nu_n\) , encadré par deux quantités qui tendent vers 1, tend vers 1.
[3 points]