Exercice 4
Durée : 4 mn
Note maximale : 3
Question
Soit \((u_n)\) une suite périodique de période \(p\) (cela veut dire que pour tout entier \(n\) on a \(u_{n+p}=u_n\)).
Montrer que \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nu_k=\frac{u_1+\cdots+u_p}{p}}\)
Solution
Pour tout \(n\) positif, il existe (division euclidienne) deux entiers \(q\) et \(r\) tels que \(n=pq+r\) et \(0\le r<p\).
On a alors \(\displaystyle{\frac{u_1+\cdots+u_n}{n}=\frac{q(u_1+\cdots+u_p)+u_{pq+1}+\cdots+u_n}{n}=\frac{u_{pq+1}+\cdots+u_n}{n}}\)
Quand \(n\) tend vers l'infini, \(\displaystyle{\frac{n}{q}}\) tend vers \(p\), le premier terme tend vers \(\displaystyle{\frac{u_1+\cdots+u_p}{p}}\) et le second , égal à \(\displaystyle{\frac{u_1+\cdots+u_r}{n}}\) tend vers 0 car il y a au plus \(p\) termes donc \(|u_1+\cdots+u_r|\le|u_1|+\cdots+|u_p|\).
[3 points]