Suites de nombres réels

La limite a étant strictement positive, à partir d'un certain rang \(N\) , le rapport des différences entre deux termes consécutifs de chacune des suites est positif donc ces différences ont le même signe et les deux suites sont, à partir de \(N\), toutes les deux croissantes ou toutes les deux décroissantes.

[1 point]

Soit \(\epsilon\) positif donné, il existe \(N\) tel que :

\(\displaystyle{\forall n\le N \quad \alpha-\epsilon<\frac{v_n-v_{n-1}}{u_n-u_{n-1}}<\alpha+\epsilon}\)

Donc \(\forall n\ge N~~(\alpha-\epsilon)(u_n-u_{n-1})<v_n-v_{n-1}<(\alpha+\epsilon)(u_n-u_{n-1})\)

Et en sommant ces inégalités de \(N+1\) à \(n\), il vient le résultat

[4 points]

On a, \(\forall n\ge N~~(\alpha-\epsilon)(u_n-u_N)+v_N<v_n<(\alpha+\epsilon)(u_n-u_N)+v_N\)

Si \((u_n)\) est convergente, elle est majorée par un réel \(M\) et \((v_n)\) croissante et majorée par \((\alpha+\epsilon)(M-u_N)+v_N\) est aussi convergente.

Si \((u_n)\) n'est pas convergente, comme elle est strictement croissante, elle tend vers l'infini et \((v_n)\) aussi.

[3 points]