Exercice 5

Durée : 13 mn

Note maximale : 8

Question

Soient (u_n) et (v_n) deux suites strictement monotones , on suppose que

\(\displaystyle{\exists\alpha>0,~\frac{v_{n+1}-v_n}{u_{n+1}-u_n}~~\substack{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}~~\alpha}\)

  1. Montrer que les deux suites sont, à partir d'un certain rang, soit toutes les deux croissantes, soit toutes les deux décroissantes.

  2. On suppose désormais les deux suites croissantes. Montrer que pour tout \(\epsilon\) positif , il existe un entier \(N\) tel que :

    \(\forall n>N :(\alpha-\epsilon)(u_n-u_N)<v_n-v_N<(\alpha+\epsilon)(u_n-u_N)\)

  3. Montrer que les deux suites considérées sont de même nature.

Solution

  1. La limite a étant strictement positive, à partir d'un certain rang \(N\) , le rapport des différences entre deux termes consécutifs de chacune des suites est positif donc ces différences ont le même signe et les deux suites sont, à partir de \(N\), toutes les deux croissantes ou toutes les deux décroissantes.

    [1 point]

  2. Soit \(\epsilon\) positif donné, il existe \(N\) tel que :

    \(\displaystyle{\forall n\le N \quad \alpha-\epsilon<\frac{v_n-v_{n-1}}{u_n-u_{n-1}}<\alpha+\epsilon}\)

    Donc \(\forall n\ge N~~(\alpha-\epsilon)(u_n-u_{n-1})<v_n-v_{n-1}<(\alpha+\epsilon)(u_n-u_{n-1})\)

    Et en sommant ces inégalités de \(N+1\) à \(n\), il vient le résultat

    [4 points]

  3. On a, \(\forall n\ge N~~(\alpha-\epsilon)(u_n-u_N)+v_N<v_n<(\alpha+\epsilon)(u_n-u_N)+v_N\)

    Si \((u_n)\) est convergente, elle est majorée par un réel \(M\) et \((v_n)\) croissante et majorée par \((\alpha+\epsilon)(M-u_N)+v_N\) est aussi convergente.

    Si \((u_n)\) n'est pas convergente, comme elle est strictement croissante, elle tend vers l'infini et \((v_n)\) aussi.

    [3 points]