Fonctions continues sur un intervalle

Durée : 9 mn

Note maximale : 6

Question

Soit \(a\) et \(b\) deux réels, les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

  1. Soit \(f \): \([a,b]\rightarrow\mathbb R\), si l’image \(f([a,b])\) est un intervalle fermé borné, alors \(f\) est continue sur \([a,b]\).

  2. Soit \(f \): \([a,b]\rightarrow\mathbb R\), si l’image \(f([a,b])\) est un intervalle ouvert, alors \(f\) n’est pas continue sur \([a,b].\)

  3. Soit \(f \): \(\mathbb R\rightarrow\{0,1\}\), si \(f\) est continue sur \(\mathbb R\) alors on a \(\forall x\in\mathbb R, f(x)=1\) ou \(\forall x\in\mathbb R, f(x)=0\)

Indication : l’énoncé veut dire que soit la fonction est constante, de valeur 1, soit elle est constante de valeur 0.

Solution

Démonstration

  1. Soit \(f \): \([a,b]\rightarrow\mathbb R\), si l’image \(f([a,b])\) est un intervalle fermé borné, alors \(f\) est continue sur \([a,b]\).

    FAUX

    Justification :

    Il suffit de donner un contre-exemple.

    Prenons la fonction \(f\) définie sur \([0,2]\) par \(\left\{\begin{array}{lll} 0\le x\le 1 &f(x)=x \\ 1<x\le 2 & f(x)=0\end{array}\right.\).

    L'image de \([0,2]\) est l'intervalle fermé borné \([0,1]\) et la fonction n'est pas continue en 1 donc n'est pas continue sur \([0,2]\).

    Bien sûr beaucoup d'autres contre-exemples sont possibles, si vous n'êtes pas sûr du vôtre, demandez l'avis d'un tuteur.

    2pts

  2. Soit \(f([a,b])\rightarrow\mathbb R\), si l'image \(f([a,b])\) est un intervalle ouvert, alors \(f\) n'est pas continue sur \([a,b]\).

    VRAI

    Justification :

    Un théorème du cours montre que l'image par une application continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné, or un intervalle ouvert n'est pas fermé ou n'est pas borné, donc \(f\) ne peut pas être continue.

    2pts

  3. Soit

    \(f \): \(\mathbb R\rightarrow\{0,1\}\), si \(f\) est continue sur \(\mathbb R\) alors on a \(\forall x\in\mathbb R, f(x)=1\) ou \(\forall x\in\mathbb R, f(x)=0\)

    VRAI

    Justification :

    - ou bien il existe un réel \(a\) tel que \(f(a)=1\), soit \(b\) un autre réel . L’image de l’intervalle fermé borné \([a,b]\) est un intervalle (fermé, borné, mais cela ne sert pas) non vide (il contient 1) contenu dans l’ensemble \(\{0,1\}\) : c’est donc \([1,1]=\{1\}\) et \(f(b)=1\). On en déduit que \(f\) est la fonction constante égale à 1.

    - sinon pour tout réel \(a\), \(f(a)=0\) et \(f\) est la fonction constante égale à 0.

    2pts