Fonctions continues sur un intervalle
Durée : 7 mn
Note maximale : 5
Question
Soit \(f \): \([0,1]\rightarrow[0,1]\) une fonction continue qui vérifie :
(I) \(\forall x_1\in[0,1], \forall x_2\in[0,1] : |f(x_1)-f(x_2)|\ge|x_1-x_2|\).
Montrer que \(f\) est injective.
Montrer que \(f\) est surjective.
Indication : On pourra montrer que \(\{f(0),f(1)\}=\{0,1\}\).
Soit \(h\) : \([0,1]\rightarrow[0,1]\) une fonction qui vérifie
(II) \(\forall x_1\in[0,1], \forall x_2\in[0,1] : |h(x_1)-h(x_2)|\ge|x_1-x_2|\)
Montrer qu’on a \(\forall x\in[0,1], h(x) = x\), ou bien \(\forall x\in[0,1], h(x) = 1-x\).
Solution
Démonstration
Soient \(x\) et \(y\) deux éléments de \([0,1]\) tels que \(f(x)=f(y)\), d’après l’inégalité (I) :
\(0=|f(x)-f(y)|\ge|x-y|\ge0 \Rightarrow x=y\) et \(f\) est injective.
Remarque : la continuité ne sert pas.
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Puisque \(f\) est à valeurs dans \([0,1]\) et satisfait à l’hypothèse (I) : \(1\ge|f(1)-f(0)|\ge|1-0|=1\). Si l’un des deux nombres \(f(0)\) et \(f(1)\) n’est pas une borne de l’intervalle, l’inégalité de gauche est stricte, ce qui est impossible à cause de l’inégalité de droite, donc \(\{f(0),f(1)\}=\{0,1\}\).
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L'image par \(f\) de l'intervalle \([0,1]\) est un intervalle contenu dans \([0,1]\) et contenant 0 et 1 :
c'est donc \([0,1]\) et \(f\) est surjective.
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Détermination de \(h\) :
On a, comme dans 1. et 2. \(\{h(0), h(1)\} = \{0,1\}\)
Si \(h(0) = 0, h(1) = 1\) :
\(\forall x\in[0,1], |h(x)-h(0)|=h(x)\ge|x-0|=x\),
\(\forall x\in[0,1], |h(x)-h(1)|=1-h(x)\ge|x-1|=1-x\),
d'où à la fois \(h(x)\ge x\) et \(h(x)\le x\).
Dans ce cas, \(\forall x\in[0,1], h(x) = x\).
Si \(h(0) = 1, h(1) = 0\) : on trouve de même
\(\forall x\in[0,1], 1-h(x)\ge x\) et \(h(x)\ge1-x\)
d'où \(h(x) = 1-x\).
Remarque : dans ce cas, la continuité n’intervient pas, mais, puisque les deux seules solutions du problème sont deux bijections continues, on trouve que toute fonction vérifiant (II) est continue, même si on ne l’a pas supposé a priori.
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