Fonctions continues sur un intervalle

Durée : 6 mn

Note maximale : 5

Question

Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \(\mathbb R\). On suppose que \(f(x)\rightarrow+\infty\) quand \(x\rightarrow\pm\infty\).

  1. Montrer qu’il existe un réel \(A\) tel que \(\forall x\in\mathbb R : |x|\ge A \Rightarrow f(x)>f(0)\).

  2. Montrer que la fonction \(f\) est minorée et atteint sa borne inférieure.

Solution

Démonstration :

  1. Soit \(C=f(0)\), puisque \(f(x)\rightarrow+\infty\) quand \(x\rightarrow\pm\infty\), il existe un réel \(A\) tel que

    \(\forall x\in\mathbb R : |x|\ge A\Rightarrow f(x)>C=f(0)\) (*)

    2pts

  2. Sur l’intervalle \([-A,A]\), la fonction continue \(f\) est bornée et atteint ses bornes. Soit \(m\) la borne inférieure (atteinte) sur cet intervalle, alors \(m\le C\) et grâce à (*) c’est un minorant sur \(\mathbb R\).

    Il est atteint (sur \([-A,A]\)) donc c’est la borne inférieure.

    3pts