Fonctions continues sur un intervalle
Durée : 4 mn
Note maximale : 3
Question
Soit \(f\) une fonction réelle continue sur \(\mathbb R\). On suppose que la fonction \(f\bigcirc f\) admet un point fixe c’est à dire que l’équation \(f\bigcirc f(x)=x\) admet une solution sur \(\mathbb R\). Montrer que la fonction \(f\) a un point fixe sur \(\mathbb R\).
Indication : notant x0 un point fixe de \(f\bigcirc f\) et \(g\) la fonction définie par \(g(x)=f(x)-x\), considérer les réels \(g(x_0)\) et \(g\bigcirc f(x_0)\).
Solution
Démonstration :
Soit x0 un point fixe de \(f\bigcirc f\) et \(g\) la fonction définie par \(g(x)=f(x)-x\), considérons les réels \(g(x_0)=f(x_0)-x_0\) et \(g\bigcirc f(x_0)=f(f(x_0))-f(x_0)=x_0-f(x_0)\).
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Ils sont opposés. S’ils sont tous les deux nuls, x0 est point fixe de \(f\), sinon, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction continue \(g\) s’annule entre les deux points x0 et \(f(x_0)\) et il existe \(x\) tel que \(g(x)=0\) c’est à dire que \(f(x)=x\). On a trouvé un point fixe.
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