Fonctions continues sur un intervalle

Durée : 8 mn

Note maximale : 6

Question

Soit \(n\ge2\) un entier.

  1. Montrer que l’équation \(x^n-x-2=0\) admet une unique racine supérieure à 1 (on la notera un).

  2. Montrer que la suite (un) est décroissante. En déduire que la suite (un) est convergente. On note \(L\) sa limite.

  3. Peut-on avoir \(L>1\)? Conclure.

Solution

Démonstration :

  1. Pour \(n\ge2\), la fonction fn : \(x\longmapsto x^n-x-2\) définie, continue, dérivable sur \([1,+\infty[\) a pour dérivée \(nx^{n-1}-1\) qui est positif donc fn est strictement croissante. Comme \(f_n(1)= -2<0\) et que fn tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), il existe \(a\) tel que \(f(a)>0\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur \([1,a],\) il y a une racine supérieure à 1 et elle est unique puisque \(f\) est strictement croissante.

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  2. Comme \(u_{n+1}>1, 0=u_{n+1}^{n+1}-u_{n+1}-2\) et donc \(u_n\in]u_{n+1} ;+\infty[\) : la suite (un) est décroissante, elle est minorée donc convergente.

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  3. Sa limite \(L\) vérifie \(L\ge1.\)

    D'autre part, on a \(u_2=2\) (facile à calculer), d'où \(\forall n\ge2, L\le u_n\ge2\).

    On a donc, \(\forall n\ge2, u_n^n-u_n-2\ge L^n-4\), d'où \(L^n-4\le0\).

    Si \(L>1, L^n-4\displaystyle{\substack{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}}+\infty\), ce qui est impossible.

    Conclusion : \(L = 1\).

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