Dérivées successives
Si \(f\) est dérivable sur \(\mathcal I\) et si la fonction \(f'\) est dérivable sur \(\mathcal I\) alors la fonction dérivée de \(f'\) est la dérivée seconde de \(f\) on la note \(f''\). Plus généralement,
Définition :
Si \(n\) est un entier positif ou nul, on définit, si elle existe, la dérivée n-ième de \(f\), en posant par convention :
\(\displaystyle{f^{(0)}=f}\), et, pour tout entier \(p,1\leq p\leq n,f^{(p)}=(f^{(p-1)})'\)
On note encore \(\displaystyle{f^{(n)}=\frac{\textrm d^nf}{\textrm dx^n}}\)
Définition :
Si la dérivée d'ordre \(n\) de \(f\) existe, on dit que \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathcal I\), si \(f^{(n)}\) est continue sur \(\mathcal I\) on dit que \(f\) est de classe \(\mathcal C^n\) sur \(\mathcal I\). Si \(f\) est, pour tout entier \(n, n\) fois dérivable, on dit que \(f\) est indéfiniment dérivable sur \(\mathcal I\) ou de classe \(\mathcal C^{\infty}\) sur \(\mathcal I\).
Exemple :
Compte-tenu des différents théorèmes, en particulier des théorèmes algébriques, les polynômes, les fonctions sinus, cosinus et l'exponentielle sont de classe \(\mathcal C^{\infty}\) sur \(\mathbf R\), ainsi que les fonctions rationnelles sur tout intervalle qui ne contient pas de pôle (zéro du dénominateur), les fonctions logarithme et racine carrée sur \(]0,+\infty[\), la fonction tangente sur \(\displaystyle{]\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+(k+1)\pi[\quad(k\in\mathbf Z)}\).
Théorème :
Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions \(n\) fois dérivables sur \(\mathcal I\), alors la fonction \(fg\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathcal I\) et :
\(\displaystyle{(fg)^{(n)}=f^{(n)}g+\mathcal C^{1}_n f^{(n-1)}g'+\cdots+\mathcal C^p_n f^{(n-p)}g^{(p)}}+\cdots+fg^{(n)}\)
Preuve :
La démonstration se fait par récurrence sur \(n\). La formule est vraie pour \(n=1\) ; en la supposant vraie à l'ordre \(n\) , en dérivant chaque terme de la somme et en utilisant la formule de la dérivée du produit et les relations :
\(\displaystyle{\mathcal C^p_n=\mathcal C^p_{n-1}+\mathcal C^{p-1}_{n-1}}\)
on montre que la formule est vraie à l'ordre \(n+1\).