Théorème et inégalité des accroissements finis. Formule de Taylor-Lagrange (TAF)

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(\mathcal I\) :

• a. \(f\) est constante si et seulement si : \(\displaystyle{\forall x\in\mathcal I\quad f'(x)=0}\)

• b. \(f\) est croissante (resp décroissante) sur \(\mathcal I\) si et seulement si : \(\displaystyle{\forall x\in\mathcal I\quad f'(x)\geq0}\) (resp \(f'(x)\leq0\))

• c. Si \(\displaystyle{\forall x\in\mathcal I,~ f'(x)>0}\) (resp. \(\forall x\in\mathcal I,~f'(x)<0\))

alors \(f\) est strictement croissante (resp décroissante sur \(\mathcal I\)).

Les parties directes concernant les conditions a et b sont une conséquence immédiate de la définition de la dérivée.

Si \(f\) est constante sur \(\mathcal I\) alors : \(\displaystyle{\forall x_0\in\mathcal I,\forall x\in\mathcal I\quad f(x)-f(x_0)=0}\) d'où\( f'(x_0)=0\).

Si \(f\) est croissante sur \(\mathcal I\) alors : \(\displaystyle{\forall x_0\in\mathcal I,\forall x\in\mathcal I\quad x\neq x_0\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0}\) d'où \(f'(x_0)\geq 0\).

En ce qui concerne les parties réciproques des conditions a et b et la condition c (les plus intéressantes puisque ce sont elles qui sont utilisées pour étudier la variation des fonctions) ce sont des conséquences du théorème des accroissements finis.

On a pour tout \((x_1,x_2)\in\mathcal I^2\), vérifiant \(x_1\neq x_2\):

\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f'(x_1+\theta(x_2-x_1)),0<\theta<1\)

On en déduit :

Si \(\displaystyle{\forall x\in\mathcal I\quad f'(x)=0}\) alors \(\forall(x_1,x_2)\in\mathcal I^2,f(x_2)-f(x_1)=0\) \(f\) est constante sur \(\mathcal I\).

Si \(\displaystyle{\forall x\in\mathcal I\quad f'(x)\geq 0}\) alors \(\displaystyle{\forall(x_1,x_2)\in\mathcal I^2,x_1\neq x_2,\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\geq 0}\) \(f\) est croissante sur \(\mathcal I\).

Si \(\displaystyle{\forall x\in\mathcal I\quad f'(x)>0}\) alors \(\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}> 0}\) \(f\) est strictement croissante sur \(\mathcal I\).