Théorème des accroissements finis

Théorème

Soit\( f\) une application de l'intervalle\( [a,b]\) dans\( \mathbf R\) vérifiant les conditions suivantes :

  1. \(f\) est continue sur \([a,b]\),

  2. \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\).

Alors il existe \(c\in]a,b[\) tel que \(f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)\)

ComplémentInterprétation

Le graphe de la fonction admet une tangente en tout point de \(]a,b[\); il existe alors un point tel que la tangente en ce point au graphe est parallèle à la droite passant par les points \((a,f(a)),(b,f(b))\) dont la pente est \(\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\).

On remarque que le théorème des accroissements finis revient au théorème de Rolle dans le repère \((\mathcal{OX}, \mathcal{OY})\).

Preuve

On considère la fonction \(\phi\) définie sur \([a,b]\) par :

\(\displaystyle{\phi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)}\).

La fonction\( \phi\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), car \(f\) l'est , elle vérifie\( \phi(a)=\phi(b)=0\) elle satisfait donc aux hypothèses du théorème de Rolle : il existe \( c\in]a,b[\) tel que\( \phi'(c)=0\) d'où \(\displaystyle{f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\).

On peut énoncer le théorème des accroissements finis sous la forme suivante (\(\mathcal I\) n'est plus nécessairement fermé, borné)

Théorème

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(\mathcal I\) et \(x_0\) un point de \(\mathcal I\) ; alors, pour tout réel \(h\) tel que \(x_0+h\in\mathcal I\), il existe un nombre \(\theta_h\in]0,1[\) tel que :

\(\displaystyle{f(x_0+h)-f(x_0)=hf'(x_0+\theta_hh)}\)

Preuve

Pour \(h > 0\) on prend \(a=x_0, b=x_0+h,\theta_h=\frac{c-a}{b-a}\textrm{ et }\theta_h\in]0,1[\),

pour \(h < 0\) on prend \(a=x_0+h, b=x_0,\theta_h=\frac{b-c}{b-a}\textrm{ et }\theta_h\in]0,1[\).