Théorème des accroissements finis
Théorème :
Soit\( f\) une application de l'intervalle\( [a,b]\) dans\( \mathbf R\) vérifiant les conditions suivantes :
\(f\) est continue sur \([a,b]\),
\(f\) est dérivable sur \(]a,b[\).
Alors il existe \(c\in]a,b[\) tel que \(f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)\)
Complément : Interprétation
Le graphe de la fonction admet une tangente en tout point de \(]a,b[\); il existe alors un point tel que la tangente en ce point au graphe est parallèle à la droite passant par les points \((a,f(a)),(b,f(b))\) dont la pente est \(\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\).
On remarque que le théorème des accroissements finis revient au théorème de Rolle dans le repère \((\mathcal{OX}, \mathcal{OY})\).
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Preuve :
On considère la fonction \(\phi\) définie sur \([a,b]\) par :
\(\displaystyle{\phi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)}\).
La fonction\( \phi\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), car \(f\) l'est , elle vérifie\( \phi(a)=\phi(b)=0\) elle satisfait donc aux hypothèses du théorème de Rolle : il existe \(c\in]a,b[\) tel que\( \phi'(c)=0\) d'où \(\displaystyle{f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\).
On peut énoncer le théorème des accroissements finis sous la forme suivante (\(\mathcal I\) n'est plus nécessairement fermé, borné)
Théorème :
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(\mathcal I\) et \(x_0\) un point de \(\mathcal I\) ; alors, pour tout réel \(h\) tel que \(x_0+h\in\mathcal I\), il existe un nombre \(\theta_h\in]0,1[\) tel que :
\(\displaystyle{f(x_0+h)-f(x_0)=hf'(x_0+\theta_hh)}\)
Preuve :
Pour \(h > 0\) on prend \(a=x_0, b=x_0+h,\theta_h=\frac{c-a}{b-a}\textrm{ et }\theta_h\in]0,1[\),
pour \(h < 0\) on prend \(a=x_0+h, b=x_0,\theta_h=\frac{b-c}{b-a}\textrm{ et }\theta_h\in]0,1[\).