Fonction réciproque d'une fonction injective continue sur un intervalle : définitions
Dans la théorie des ensembles, lorsqu'on considère une application \(f\) bijective d'un ensemble \(E\) sur un ensemble \(F,\) on prouve l'existence d'une application de \(F\) dans \(E,\) notée \(f^{-1}\)et appelée application réciproque de \(f,\) vérifiant les propriétés suivantes :
\(\forall x \in E, (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}[f(x)] = id_E(x) = x\)
\(\forall y \in F, (f \circ f^{-1})(x) = f[f^{-1}(y)] = id_F(y) = y\)
qui peuvent se schématiser par : \(\xrightarrow[id_E]{E\xrightarrow{f}F\xrightarrow{f^{-1}}E}~\textrm{et}~\xrightarrow[id_F]{F\xrightarrow{f^{-1}}E\xrightarrow{f}F}\)
On ne s'intéresse ici qu'aux fonctions numériques définies sur un intervalle \(I\) non vide et non réduit à un point de \(\mathbb R.\)
Toute fonction numérique \(f\) définie sur un intervalle \(I\) est une surjection de \(I\) sur \(f(I).\)
Comme l'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle, en introduisant une propriété de continuité sur la fonction \(f,\) on assure que \(J = f(I)\) est un intervalle.
La fonction \(f\) admet une application réciproque définie sur l'intervalle \(J,\) où \(J = F(I),\) si et seulement si elle est bijective de \(I\) sur \(J\) donc si et seulement si elle est injective sur \(I.\)
D'où les définitions :
Définition :
Une fonction numérique \(f\) continue injective sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb R\) définit une bijection de \(I\) sur l'intervalle \(J = f(I)\); elle admet donc une application réciproque définie sur \(J,\) appelée fonction réciproque de \(f.\)
On dit que \(f\) admet une fonction réciproque.
On est donc conduit à caractériser les fonctions continues injectives sur un intervalle.