Description de l'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone
On sait déjà que l'image d'un intervalle \(I\) par une fonction continue \(f\) est un intervalle ; cependant lorsque de plus la fonction \(f\) est strictement monotone, on peut préciser l'intervalle \(f(I).\)
Proposition : nature de l'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I.\)
Si \(a~\textrm{et}~b\) désignent les extrémités de l'intervalle \(I\) (c'est-à-dire \(a~\textrm{ou}~b\) sont des réels ou sont les symboles \(-\infty~\textrm{ou}~+\infty\)) alors les extrémités de l'intervalle \(f(I)\)sont \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(a)~\textrm{et}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow b}f(x)\) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).
De plus les intervalles \(I~\textrm{et}~f(I)\) sont de même nature : fermés, ouverts, ou semi-ouverts.
Remarque :
Puisque \(f\) est continue sur \(I,\) si l'une des bornes, par exemple \(a,\) appartient à \(I,\) alors \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\)
Démonstration :
La démonstration de la proposition n'est faite que dans les trois cas suivants :
Cas où \(f\) est croissante et \(I = [a, b],\) on trouve \(f([a, b]) = [f(a), f(b)].\)
En effet, d'une part, comme \(f(I)\) est un intervalle, on a \([f(a), f(b)] \subset f(I).\)
D'autre part, tout élément de \(f(I)\) est l'image d'un élément \(x~\textrm{de}~I.\)
Or \((a \leq x \leq b) \Rightarrow (f(a) \leq f(x) \leq f(b))\)donc \(f(I) \subset [f(a), f(b)],\)
d'où l'égalité \(f([a, b]) = [f(a), f(b)].\)
Cas où \(f\) est croissante et \(I = [a, b[,\) alors \(f([a, b[) = [f(a), \displaystyle \lim_{x\rightarrow b^-}f(x)[.\)
Nature de l'image d'un intervalle semi-ouvert borné
Cas où \(f\) est croissante et \(I =[a, +\infty[,\) alors \(f([a, +\infty[) = [f(a), \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)[.\)
Nature de l'image d'un intervalle non majoré
Les démonstrations des autres cas peuvent être obtenues à partir des précédentes en utilisant diverses techniques.
Diverses techniques
- Le cas "\(f\) est croissante et \(I = ]a, b]\)" se traite en suivant la même démarche que dans le cas "\(f\) est croissante et \(I = [a, b[\)".
- Le cas "\(f\) est croissante et \(I = ]-\infty, b]\)" se traite en suivant la même démarche que dans le cas "\(f\) est croissante et \(I = [a, +\infty[\)".
- Dans tous les autres cas d'intervalle \(I\) sur lequel \(f\) est croissante, l'intervalle \(I\) est la réunion de deux intervalles de type précédent :
par exemple si \(I = ]-\infty, b[\)alors \(I = ]-\infty, a] \bigcup [a, b[,\) où \(a\) est un réel strictement inférieur à \(b,\) \(f(I) = f(]-\infty, b[) = f(]-\infty,a])\bigcup f([a, b[),\) d'où
\(f(]-\infty, b[)~~=~~]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x), f(a)] \bigcup [f(a), \displaystyle \lim_{x\rightarrow b}f(x)[~~=~~]\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x), \displaystyle \lim_{x \rightarrow b}f(x)[\)
- Lorsque \(f\) est décroissante, alors \((-f )\) est croissante et on est ramené à un des cas précédents :
par exemple si \(f\) est décroissante sur \(I = [a, b[,~~(-f)\) est croissante sur \(I = [a, b[,\)
donc \((-f)([a, b[) = [-f(a), \displaystyle \lim_{x\rightarrow b}(-f)(x)[~~=~~[-f(a), -\displaystyle \lim_{x\rightarrow b}f(x)[,\) d'où \(f([a, b[) = ]\displaystyle \lim_{x \rightarrow b}f(x), f(a)].\)