Théorème des fonctions réciproques

Le graphe d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(I\) est l'ensemble des couples de \(\mathbb R ^2\) de la forme \((x, f(x)),\) quand \(x\) parcourt \(I.\)

Soit la fonction \(f\) continue strictement monotone sur l'intervalle \(I,\) et soit \(J = f(I).\) On a alors la relation :

\(\begin{array} {|l|}\hline x \in I\\ y = f(x) \\ \hline \end{array}~~\Leftrightarrow~~\begin{array} {|l|}\hline y \in J\\ x = f^{-1}(y) \\ \hline \end{array}\)

L'ensemble des couples \((f(x), x),\) quand \(x\) parcourt \(I,\) est donc l'ensemble des couples \((y, f^{-1}(x)),\) quand \(y\) parcourt \(J\) ; c'est le graphe de la fonction réciproque \(f^{-1}.\)

Or dans un repère orthonormé, le point de coordonnées \((a, b)\) est le symétrique par rapport à la première bissectrice des axes de ce repère, du point de coordonnées \((b, a).\)

On en déduit que, dans un repère orthonormé, la courbe représentative de \(f^{-1}\) est symétrique par rapport à la première bissectrice, de la courbe représentative de \(f.\)

Représentations graphiques de \(f\) et de \(f^{-1}\)