Propriétés des matrices élémentaires
Proposition : Transposée des matrices élémentaires
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Les matrices élémentaires qui interviennent dans cet énoncé sont d'ordre \(n\). Soient deux entiers distincts \(i\) et \(j\), compris entre\( 1\) et \(n\) et un élément\( \lambda\) de \(\mathbf K\). Alors
\({}^t\mathcal T_{i,j}(\lambda)=\mathcal T_{j,l}=(\lambda)\)
Soit \(\lambda\) un élément non nul de \(\mathbf K\). Alors
\({}^t\mathcal D_i(\lambda)=\mathcal D_i(\lambda)\)
La preuve est immédiate compte tenu des définitions.
Proposition : Produit de matrices élémentaires
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Les matrices élémentaires qui interviennent dans cet énoncé sont d'ordre \(n\). Soient deux entiers distincts \(i\) et \(j\), compris entre \(1\) et \(n\), fixés. Soient \(\lambda\) et \(\mu\) deux éléments quelconques de \(\mathbf K\). Alors
\(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal T_{i,j}(\mu)=\mathcal T_{i,j}(\lambda+\mu)\)
\(\mathcal T_{i,j}(0)=\mathcal I_n\)
Soient \(\lambda\) et \(\mu\) deux éléments non nuls de \(\mathbf K\).
Alors :
\(\mathcal D_i(\lambda)\mathcal D_i(\mu)=\mathcal D_i(\lambda\mu)\)
\(\mathcal D_i(1)=\mathcal I_n\)
Preuve :
Les propriétés de \(\mathcal D_i(\lambda)\) résultent immédiatement des règles de calcul sur les matrices diagonales.
Quant à celles des matrices \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\), la deuxième est évidente d'après la définition et la première s'obtient facilement à partir de l'expression des matrices\( \mathcal T_{i,j}(\lambda)\) en fonction des matrices \(E_{i,j}\).
Fin de la preuve de la proposition
On a \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)=\mathcal I_n+\lambda E_{i,j}\) et \(\mathcal T_{i,j}(\mu)=\mathcal I_n+\mu E_{i,j}\)
Alors \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal T_{i,j}(\mu)=(\mathcal I_n+\lambda E_{i,j})(\mathcal I_n+\mu E_{i,j})\), d'où \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal T_{i,j}(\mu)=\mathcal I_n+\lambda E_{i,j}+\mu E_{i,j}+\lambda\mu E_{i,j}E_{i,j}\). Or les entiers \(i\) et \(j\) sont distincts, donc \(E_{i,j}E_{i,j}=0\),
et il reste
\(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal T_{i,j}(\mu)=\mathcal I_n+\lambda E_{i,j}+\mu E_{i,j}=\mathcal I_n+(\lambda+\mu)E_{i,j}=\mathcal T_{i,j}(\lambda+\mu)\)
Ces formules permettent d'obtenir, en restant dans le cadre du calcul matriciel, le résultat suivant, qui est fondamental pour les utilisations
Théorème : Inversibilité des matrices élémentaires
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Les matrices élémentaires qui interviennent dans cet énoncé sont d'ordre \(n\). Soient deux entiers distincts \(i\) et \(j\), compris entre \(1\) et \(n\), fixés
Les matrices élémentaires sont inversibles et leurs inverses sont des matrices élémentaires. Plus précisément, on a
\(\forall\lambda\in\mathbf K,\quad[\mathcal T_{i,j}(\lambda)]^{-1}=\mathcal T_{i,j}(-\lambda)\)
\(\displaystyle{\forall\lambda\in\mathbf K^*,\quad[\mathcal D_{i,j}(\lambda)]^{-1}=\mathcal D_{i,j}(\frac{1}{\lambda})}\)
D'où, immédiatement, le corollaire suivant :
Corollaire :
Si une matrice \(\mathcal P\) est un produit de matrices élémentaires, elle est inversible et son inverse est aussi un produit de matrices élémentaires.
Remarque : Synthèse, en termes de groupes, des résultats précédents
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Soient \(i\) et \(j\) deux entiers fixés distincts, compris entre \(1\) et \(n\). Si l'on note \(\mathcal{Gl}(n,\mathbf K)\) le groupe multiplicatif des matrices inversibles d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\), l'application \(\lambda\mapsto\mathcal T_{i,j}(\lambda)\) est un homomorphisme du groupe \((\mathbf K,+)\) dans le groupe \(\mathcal{Gl}(n,\mathbf K)\).
De même, l'application \(\lambda\mapsto\mathcal D_i(\lambda)\) est un homomorphisme du groupe \((\mathbf K^*,\times)\) dans le groupe \(\mathcal{Gl}(n,\mathbf K)\).