Inversibilité des matrices d'échanges
Proposition : Inversibilité des matrices d'échange
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Soient deux entiers distincts \(i\) et \(j\), compris entre \(1\) et \(n\) fixés. Alors
\(\Delta_{i,j}\Delta_{i,j}=\mathcal I_n\)
Une matrice d'échange est inversible et égale à son inverse, soit
\([\Delta_{i,j}]^{-1}=\Delta_{i,j}\)
Preuve :
Le deuxième résultat est une conséquence immédiate de la première formule. Cette dernière découle de l'expression des matrices \(\Delta_{i,j}\) en fonction des matrices\( E_{i,j}\).
Démonstration de la première formule
L'expression des matrices \(\Delta_{i,j}\) en fonction des matrices \(E_{s,t}\) est donnée par la formule :
\(\displaystyle{\Delta_{i,j}=E_{i,j}+E_{j,i}+\sum_{\begin{array}{cccccc}k\neq i\\k\neq j\end{array}}E_{k,k}}\)
Alors .
\(\displaystyle{\Delta_{i,j}\Delta_{i,j}=(E_{i,j}+E_{j,i}+\sum_{\begin{array}{cccccc}k\neq i\\k\neq j\end{array}}E_{k,k})(E_{j,i}+E_{i,j}+\sum_{\begin{array}{cccccc}k\neq i\\k\neq j\end{array}}E_{l ,l})}\)
On utilise alors la table de multiplication des matrices \(E_{i,j}\). Cela donne :
\(\Delta_{i,j}\Delta_{i,j}=E_{i,j}E_{j,i}+E_{j,i}E_{i,j}+\sum_{\substack{{k\neq i}\\{k\neq j}\\{l\neq i}\\{l\neq j}}}\mathcal{E}_{k,k}\mathcal{E}_{l,l}\)
Dans le troisième terme de la somme, les seuls produits non nuls sont ceux pour lesquels les entiers\( k\) et \(l\) sont égaux.
D'où \(\displaystyle{\Delta_{i,j}\Delta_{i,j}=E_{i,j}+E_{j,j}+\sum_{\begin{array}{cccccc}k\neq i\\ k\neq j \end{array}}}E_{k,k}=\mathcal I_n\). Ce qui achève la démonstration.