Matrices carrées

Soit $\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)$ et

$\mathcal T_{1,2}=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)$

Alors, la matrice $\mathcal A\mathcal T_{1,2}(-1)$ est obtenue en remplaçant la deuxième colonne $\mathcal C_2$ de $\mathcal A$ par la colonne $\mathcal C_2+(-1)\mathcal C_1$ et en laissant le reste inchangé.

Cela peut être schématisé de la manière suivante :

$\displaystyle{\begin{array}{cccccc}&\mathcal C_2&\gets&\mathcal C_2&+&(-1)\mathcal C_1\\k\neq2&\mathcal C_k&\gets&&&\mathcal C_k\end{array}}$

Cela donne

$\mathcal A\mathcal T_{1,2}(-1)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1+(-1)\times1&2&1&-1\\2&0+(-1)\times2&2&1&1\\3&-1+(-1)\times3&0&1&2\end{array}\right)$

$\mathcal A\mathcal T_{1,2}(-1)==\left(\begin{array}{cccccc}1&0&2&1&-1\\2&-2&2&1&1\\3&-4&0&1&2\end{array}\right)$

• Avec la même matrice $\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)$

  $\mathcal D_3(4)=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&4&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)$, la matrice $\mathcal A\mathcal D_3(4)$ est

  obtenue en remplaçant la troisième colonne$\mathcal C_3$ de$\mathcal A$ par $4\mathcal C_3$ et en laissant le reste inchangé, autrement dit

  $\displaystyle{\begin{array}{cccccc}&\mathcal C_3&\gets&4\mathcal C_3\\k\neq3&\mathcal C_k&\gets&\mathcal C_k\end{array}}$

  Cela donne

  $\mathcal A\mathcal D_3(4)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&4&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&4\times2&1&-1\\2&0&4\times2&1&1\\3&-1&4\times0&1&2\end{array}\right)$

  D'où $\mathcal A\mathcal D_3(4)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&8&1&-1\\2&0&8&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)$