Exemples
Soit et
\mathcal T_{1,2}=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)
Alors, la matrice \mathcal A\mathcal T_{1,2}(-1) est obtenue en remplaçant la deuxième colonne \mathcal C_2 de \mathcal A par la colonne \mathcal C_2+(-1)\mathcal C_1 et en laissant le reste inchangé.
Cela peut être schématisé de la manière suivante :
\displaystyle{\begin{array}{cccccc}&\mathcal C_2&\gets&\mathcal C_2&+&(-1)\mathcal C_1\\k\neq2&\mathcal C_k&\gets&&&\mathcal C_k\end{array}}
Cela donne
\mathcal A\mathcal T_{1,2}(-1)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1+(-1)\times1&2&1&-1\\2&0+(-1)\times2&2&1&1\\3&-1+(-1)\times3&0&1&2\end{array}\right)
\mathcal A\mathcal T_{1,2}(-1)==\left(\begin{array}{cccccc}1&0&2&1&-1\\2&-2&2&1&1\\3&-4&0&1&2\end{array}\right)
Avec la même matrice \mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)
\mathcal D_3(4)=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&4&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right), la matrice \mathcal A\mathcal D_3(4) est
obtenue en remplaçant la troisième colonne \mathcal C_3 de \mathcal A par 4\mathcal C_3 et en laissant le reste inchangé, autrement dit
\displaystyle{\begin{array}{cccccc}&\mathcal C_3&\gets&4\mathcal C_3\\k\neq3&\mathcal C_k&\gets&\mathcal C_k\end{array}}
Cela donne
\mathcal A\mathcal D_3(4)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&4&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&4\times2&1&-1\\2&0&4\times2&1&1\\3&-1&4\times0&1&2\end{array}\right)
D'où \mathcal A\mathcal D_3(4)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&8&1&-1\\2&0&8&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)
Remarque :
Ces résultats n'ont pas été obtenus en calculant les produits, mais en faisant les transformations élémentaires, ce qui est ici beaucoup plus rapide.