Matrices carrées

Soit \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)\) et

\(\mathcal T_{1,2}=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)\)

Alors, la matrice \(\mathcal A\mathcal T_{1,2}(-1)\) est obtenue en remplaçant la deuxième colonne \(\mathcal C_2\) de \(\mathcal A\) par la colonne \(\mathcal C_2+(-1)\mathcal C_1\) et en laissant le reste inchangé.

Cela peut être schématisé de la manière suivante :

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}&\mathcal C_2&\gets&\mathcal C_2&+&(-1)\mathcal C_1\\k\neq2&\mathcal C_k&\gets&&&\mathcal C_k\end{array}}\)

Cela donne

\(\mathcal A\mathcal T_{1,2}(-1)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1+(-1)\times1&2&1&-1\\2&0+(-1)\times2&2&1&1\\3&-1+(-1)\times3&0&1&2\end{array}\right)\)

\(\mathcal A\mathcal T_{1,2}(-1)==\left(\begin{array}{cccccc}1&0&2&1&-1\\2&-2&2&1&1\\3&-4&0&1&2\end{array}\right)\)

• Avec la même matrice \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)\)

  \(\mathcal D_3(4)=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&4&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)\), la matrice \(\mathcal A\mathcal D_3(4)\) est

  obtenue en remplaçant la troisième colonne\( \mathcal C_3\) de\( \mathcal A\) par \(4\mathcal C_3\) et en laissant le reste inchangé, autrement dit

  \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}&\mathcal C_3&\gets&4\mathcal C_3\\k\neq3&\mathcal C_k&\gets&\mathcal C_k\end{array}}\)

  Cela donne

  \(\mathcal A\mathcal D_3(4)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2&1&-1\\2&0&2&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&4&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&4\times2&1&-1\\2&0&4\times2&1&1\\3&-1&4\times0&1&2\end{array}\right)\)

  D'où \(\mathcal A\mathcal D_3(4)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&8&1&-1\\2&0&8&1&1\\3&-1&0&1&2\end{array}\right)\)