Multiplication à gauche par une matrice élémentaire ou une matrice d'échange et opérations élémentaires sur les lignes

On s'intéresse évidemment aussi au produit à gauche d'une matrice par des matrices élémentaires.

On a les propriétés suivantes :

ThéorèmeOpérations élémentaires sur les lignes

Soit\( n\textrm{ et }p\) deux entiers supérieurs ou égaux à \(2\). Soit \(\mathcal M\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).

  1. Soient \(i \textrm{ et }j\) deux entiers distincts compris entre \(1 \)et \(n\) et \(\lambda\) un élément quelconque de \(\mathbf K\). On considère la matrice d'ordre \(n\),\( \mathcal T_{i,j}(\lambda)\).

    La matrice \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M\) s'obtient en remplaçant, la i-ième ligne \(\mathcal L_i\) de \(\mathcal M\) par \(\mathcal L_i+\lambda\mathcal L_j\), et en laissant les autres inchangées.

  2. Soient \(i\) un entier compris entre \(1 \textrm{ et }n\), un élément non nul de \(\mathbf K\).

    On considère la matrice d'ordre \(n\), \(\mathcal D_i(\lambda)\).

    La matrice\( \mathcal D_i(\lambda)\mathcal M\) s'obtient en remplaçant la i-ième ligne \(\mathcal L_i\) de \(\mathcal M\) par \(\lambda\mathcal L_i\), et en laissant les autres inchangées.

  3. Soient\( i \textrm{ et }j\) deux entiers compris entre \(1 \textrm{ et }n\).

    On considère la matrice d'ordre \(n\),\(\Delta_{i,j}\) .

    La matrice produit \(\Delta_{i,j}\mathcal M\) s'obtient en échangeant les i-ième et j-ième lignes de\( \mathcal M\), et en laissant les autres inchangées.

RemarqueRemarque 1

Attention, à l'ordre des indices dans le premier cas. Le produit à gauche par la matrice élémentaire \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\), où \(i\) est le premier indice donne une transformation de la \(i\) -ième ligne de \(\mathcal M\).

RemarqueRemarque 2

La preuve de ces formules pourrait évidemment être calquée sur celle des opérations sur les colonnes, en utilisant les expressions des matrices et des matrices élémentaires en fonction des matrices ...\( E_{i,j}\)

... mais il est plus intéressant de la faire en utilisant les propriétés de la transposition, qui nous permettront de les déduire du théorème analogue déjà vu concernant les colonnes.

Démonstration

Compte tenu des propriétés de la transposition, il vient : \({}^t[\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M]={}^t\mathcal M{}^t\mathcal T_{i,j}(\lambda)\).

Or la transposée d'une matrice élémentaire est encore une matrice élémentaire, plus précisément : \({}^t\mathcal T_{i,j}(\lambda)=\mathcal T_{j,i}(\lambda)\)

(ATTENTION à l'interversion des indices). L'égalité précédente devient donc : \({}^t[\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M]={}^t\mathcal M{}^t\mathcal T_{i,j}(\lambda)\) . On est donc ramené à multiplier à droite par une matrice élémentaire et donc à faire une transformation élémentaire sur les colonnes de \({}^t\mathcal M\).

Donc, compte tenu des résultats vus précédemment, la matrice \({}^t\mathcal M\mathcal T_{j,i}(\lambda)\) s'obtient en remplaçant la i-ième colonne \(\mathcal C_i\) de\( {}^t\mathcal M\) par \(\mathcal C_i+\lambda\mathcal C_j\) et en laissant les autres inchangées. Or les colonnes de la matrice \({}^t\mathcal M\) sont les lignes de \(\mathcal M\).

Donc la matrice \({}^t[\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M]={}^t\mathcal M{}^t\mathcal T_{j,i}(\lambda)\) a pour i-ième colonne \(\mathcal L_i+\lambda\mathcal L_j\), et pour \(k\)-ième colonne, avec \(k\) différent de \(i\),\(\mathcal L_k\), où \(\mathcal L_s\) désigne la s-ième ligne de \(\mathcal M\).

Alors, toujours en utilisant le fait que la transposition échange les lignes et les colonnes, on en déduit que la matrice \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M\) a pour i-ième ligne \(\mathcal L_i+\lambda\mathcal L_j\), et pour \(k\)-ième ligne, avec \(k\) différent de \(i\),\(\mathcal L_k\) , où \(\mathcal L_s\) désigne la \(s\)-ième ligne de \(\mathcal M\).

La démonstration est exactement la même pour \(\mathcal D_i(\lambda)\), en utilisant le fait que \({}^t\mathcal D_i(\lambda)=\mathcal D_i(\lambda)\) .

De même pour \(\Delta_{i,j}\mathcal M\), en utilisant la propriété \({}^t\Delta_{i,j}=\Delta_{i,j}\).

En effet,\({}^t[\Delta_{i,j}\mathcal M]={}^t\mathcal M{}^t\Delta_{i,j}={}^t\mathcal M\Delta_{i,j}\). Donc, en utilisant le résultat obtenu pour les colonnes, la matrice \({}^t[\Delta_{i,j}\mathcal M]\) est obtenu à partir de la matrice \({}^t\mathcal M\) en échangeant les \(i\)-ième et \(j\)-ième colonnes et en laissant les autres inchangées. La transposition échangeant lignes et colonnes, le résultat s'en déduit immédiatement.

RemarqueRemarque importante

Il en résulte que la multiplication à gauche par un produit \(\displaystyle{\prod_{j=1,j\neq1}^{j=k}\mathcal T_{i,j}(\lambda_j)}\) de matrices élémentaires (de type transvection) ayant le même indice \(i\) correspond au remplacement de la i-ième ligne \(\mathcal L_i\) par \(\displaystyle{\mathcal L_i+\sum_{j=1,j\neq1}^{j=k}\lambda_j\mathcal L_j}\).

En particulier si \(\mathcal L_i\) est combinaison linéaire de lignes \(\mathcal L_j\), il existe un produit de matrices élémentaires, tel que si on multiplie à gauche la matrice de départ par ce produit, on obtient une matrice dont la ligne \(\mathcal L_i\) ne comporte que des \(0\). Ce résultat sera très utile dans la suite.