Expression des matrices d'échange comme produit de matrices élémentaires
Soient \(k\) un entier supérieur ou égal à \(2\),\( i \)et\( j\) deux entiers distincts compris entre \(1\) et \(k\). La matrice d'échange\( \Delta_{i,j}\) est la matrice :
C'est-à-dire la matrice carrée d'ordre \(k\) dont :
Les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à \(1\), sauf ceux de les \(i\)-ième et\( j\)-ième, qui sont nuls.
L'élément de la \(i\)-ième ligne, \(j-\)ième colonne est égal à \(1\), ainsi que celui de \(j\)-ième ligne, \(i\)-ième colonne.
Tous les autres éléments sont nuls.
L'objet de ce paragraphe est d'exprimer \(\Delta_{i,j}\) comme produit de matrices élémentaires.
Intuitivement, comme \(4\) éléments ont changé de place, il est naturel de penser que \(4\) matrices élémentaires sont nécessaires.
L'idée est de partir de la matrice unité et de la multiplier à droite par des matrices élémentaires jusqu'à l'obtention de la matrice \(\Delta_{i,j}\). On utilise les résultats précédents sur les transformations élémentaires.
Si l'on considère la matrice \(\mathcal I_n\) , pour faire apparaître un \(1\) à la \(i\)-ième ligne et \(j\)-ième colonne sans modifier le reste, il suffit de remplacer la colonne \(\mathcal C_j\) par \(\mathcal C_j+\mathcal C_i\) donc de multiplier à droite par la matrice élémentaire \(\mathcal T_{i,j}(1)\) . On obtient alors la matrice \(\mathcal I_n\mathcal T_{i,j}(1)\), soit \(\mathcal T_{i,j}(1)\) .
Pour obtenir, à partir de cette matrice une matrice ayant \(0\) comme \(i\)-ième élément de la diagonale principale, sans modifier le reste, il suffit de remplacer la colonne \(\mathcal C_i\) par \(\mathcal C_i-\mathcal C_j,\) donc de multiplier à droite par la matrice élémentaire \(\mathcal T_{j,i}(-1)\).
On obtient alors la matrice la matrice \(\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)\) égale à
Pour faire apparaître un \(0\) à la\( j\)-ième place de la diagonale principale sans modifier le reste, il suffit de remplacer la colonne \(\mathcal C_j\) par \(\mathcal C_j+\mathcal C_i\) donc de multiplier à droite par la matrice élémentaire \(\mathcal T_{i,j}(1)\). On obtient alors la matrice \(\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)\mathcal T_{i,j}(1)\) qui est égale à :
Il ne reste plus qu'à remplacer le \("-1"\) qui est à la \(j\)-ième ligne\( i\)-ième colonne par \(1\). Pour cela, comme c'est le seul élément non nul de cette colonne, il suffit de multiplier tous ses termes par donc de multiplier la matrice \(\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)\mathcal T_{i,j}(1)\) par \(\mathcal D_i(-1)\).
On obtient alors
\(\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal D_i(-1)=\Delta_{i,j}\)
Remarque : Remarque 1
Toutes les matrices élémentaires qui interviennent dans cette formule sont de même ordre que \(\Delta_{i,j}\).
Remarque : Remarque 2
Cette démarche est assez naturelle car elle permet de "trouver" la formule. Elle constitue un exemple non classique d'utilisation des transformations élémentaires. Bien sûr, cette formule pourrait être vérifiée en utilisant les expressions des matrices élémentaires en fonction des matrices\( E_{i,j}\).
Démonstration :
On va calculer\( \mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal D_i(-1)\).
D'après les expressions des matrices élémentaires en fonction des matrices\( E_{i,j}\), on a \(\mathcal T_{i,j}(1)=\mathcal I_k+E_{i,j}\) : ,
\(\mathcal T_{j,i}(-1)=\mathcal I_k-E_{j,i}\) et \(\displaystyle{\mathcal D_i(-1)=-E_{i,j}+\sum_{l\neq i}E_{l,l}}\).
Compte tenu de la table de mutiplication des matrices \(E_{l,r}\) , on obtient \(\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)=(\mathcal I_k+E_{i,j})(\mathcal I_k-E_{j,i})=\mathcal I_k+E_{i,j}-E_{j,i}-E_{i,i}\) puis \(\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)\mathcal T_{i,j}(1)=(\mathcal I_k+E_{i,j}-E_{j,i}-E_{i,i})(\mathcal I_k+E_{i,j})\) et donc \(\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)\mathcal T_{i,j}(1)=\mathcal I_k+E_{i,j}-E_{j,i}-E_{i,i}-E_{j,j}\). Ce qui donne, en multipliant à droite par\( \displaystyle{\mathcal D_i(-1)=-E_{i,j}+\sum_{l\neq i}E_{l,l}}\), le résultat
\(\displaystyle{\Delta_{i,j}=E_{i,j}+E_{j,i}+\sum_{\begin{array}{cccccc}k\neq i\\k\neq j\end{array}}E_{k,k}}\)
ce qui est bien la matrice annoncée.
Conclusion : Cela prouve qu'en fait, toutes les transformations élémentaires d'une matrice se ramènent au produit, à droite ou à gauche, de cette matrice par des matrices élémentaires, transvection ou dilatation.