Etude qualitative

\(\displaystyle{f(x, y) = \sin (xy)}\) :

On a \(\displaystyle{\delta f/\delta x=y\cos(xy)}\) et \(\delta f/\delta y=x\cos(xy)\). Ces dérivées partielles sont définies partout.

\(\displaystyle{g(x,y)=|x+y|}\) :

•  Si \(x+y>0\), on a \(g(x,y)=x+y\), donc \(\displaystyle{\delta g/\delta x=\delta g/\delta y=1}\);

• Si \(x+y<0\), on a \(g(x,y)=-x-y\), donc \(\displaystyle{\delta g/\delta x=\delta g/\delta y=-1}\);

Sur la droite \(x+y=0\), les dérivées partielles de la fonction \(g\) n'existent pas.

\(\displaystyle{h(x,y)=\textrm{Arctg}(y^2)}\) :

La valeur de \(h(x,y)\) ne dépend pas de \(x\), donc \(\displaystyle{\delta h/\delta x=0}\). D'autre part, on calcule \(\displaystyle{\delta h/\delta y=2y/(1+y^4)}\). Les dérivées partielles de \(h\) sont donc partout définies.

\(\displaystyle{j(x,y)=(x^2+y^2)^{1/2}}\) :

Si \(\displaystyle{(x,y)\neq(0,0)}\), on a \(\displaystyle{\delta j/\delta x=x/(x^2+y^2)^{1/2}}\) et \(\displaystyle{\delta j/\delta y=y/(x^2+y^2)^{1/2}}\).

Au point \((0,0)\), les dérivées partielles n'existent pas.