Exercice n°5
Partie
Question
On se donne l'équation différentielle
\(\displaystyle{y'=x^2-ay^2}\),
où \(a\) est un paramètre réel.
Comment doit-on choisir \(a\) pour que la solution \(u\) vérifiant \(u(1)=2\), ait pour dérivée en ce point \(u'(1)=5\).
Solution détaillée
Equation \(\displaystyle{y'=x^2-ay^2}\)
Si \(u\) est une solution de \((1)\) vérifiant \(u(1)=2\), on a alors, pour tout \(x\), \(\displaystyle{u'(x)=x^2-au(x)^2}\),
et en particulier \(\displaystyle{u'(1)=1-au(1)^2=1-4a}\)
Pour que \(u'(1)=5\) on doit donc prendre \(a=-1\).