Exercice n°5

Partie

Question

On se donne l'équation différentielle

\(\displaystyle{y'=x^2-ay^2}\),

\(a\) est un paramètre réel.

Comment doit-on choisir \(a\) pour que la solution \(u\) vérifiant \(u(1)=2\), ait pour dérivée en ce point \(u'(1)=5\).

Solution détaillée

Equation \(\displaystyle{y'=x^2-ay^2}\)

Si \(u\) est une solution de \((1)\) vérifiant \(u(1)=2\), on a alors, pour tout \(x\), \(\displaystyle{u'(x)=x^2-au(x)^2}\),

et en particulier \(\displaystyle{u'(1)=1-au(1)^2=1-4a}\)

Pour que \(u'(1)=5\) on doit donc prendre \(a=-1\).