Etude qualitative

 La fonction \(\displaystyle{F(x,y)=\textrm{Arctg}(xy)}\) est définie dans tout le plan \((x,y)\), et admet des dérivées partielles \(\displaystyle{\delta F/\delta x=y/(1+x^2y^2)}\) et \(\displaystyle{\delta F/\delta y=x/(1+x^2y^2)}\) définies et continues partout. Les hypothèses du Cauchy-Lipschitz sont donc vérifiées partout pour l'équation \(\displaystyle{y'=\arctan(xy)}\) ; le théorème nous permet de conclure que pour tout couple de réels \((x_0,y_0)\), il existe une solution \(y=u(x)\) et une seule vérifiant \(u(x_0)=y_0\).

 La fonction \(\displaystyle{G(x,y)=|y|^{1/2}}\) (qui ne dépend pas explicitement de \(x\), mais qu'importe !) est définie pour tout \((x,y)\). Sur tout le plan, on a \(\displaystyle{\delta G/\delta x=0}\), et la fonction nulle est évidemment continue. En revanche, G n'admet pas de dérivée partielle par rapport à \(y\) sur l'axe des \(x(y=0)\), car la fonction \(t\to|t|^{1/2}\) n'est pas dérivable en 0.

• Si \(y > 0\),\(\delta G/\delta y\) vaut \(1/(2y^{1/2})\) ; cette fonction est continue sur le demi-plan \(y>0\).

• Si \(y < 0\),\(\delta G/\delta y\) vaut \(-1/(2(-y)^{1/2})\) ; cette fonction est continue sur le demi-plan \(y<0\).

  On peut appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz à l'équation \(y'=|y|^{1/2}\) en tout point \((x_0,y_0)\), avec \(y_0\) non nul.

  Ce théorème ne permet pas de conclure si \(y_0=0\) ; d'ailleurs, on peut montrer qu'il existe plusieurs solutions \(y=v(x)\) vérifiant \(v(x_0)=0\).

 La fonction \(\displaystyle{H(x,y)=\sin(x^2+y^2)}\) est définie dans tout le plan \((x,y)\), et admet des dérivées partielles \(\displaystyle{\delta H/\delta x=2x\cos(x^2+y^2)}\) et \(\displaystyle{\delta H/\delta y=2y\cos(x^2+y^2)}\) définies et continues partout. Les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sont donc vérifiées ; le théorème nous permet de conclure que pour tout couple de réels \((x_0,y_0)\), il existe une solution \(y=u(x)\) et une seule de l'équation \(y'=\sin(x^2+y^2)\) vérifiant \(u(x_0)=y_0\).

 La fonction \(J(x,y)=y/x\) n'est pas définie sur l'axe des \(y(x=0)\) ; en tout point hors de l'axe des \(y\), on a \(\displaystyle{\delta J/\delta x=-y/{x^{2}}}\) et \(\displaystyle{\delta J/\delta y=1/x}\) ; ces fonctions sont définies et continues en tout point \((x,y)\) avec \(x\) non nul. Les hypothèses du théorème sont vérifiées dans chacun des demi-plans \(x> 0\) et \(x< 0\) pour l'équation \(y'=y/x\).

 On montre de même que, pour l'équation \(\displaystyle{y'=x/(y-1)}\) les hypothèses sont vérifiées dans chacun des demi-plans \(y> 1\) et \(y< 1\). L'équation n'est pas définie sur la droite \(y=1\).