Exercice n°3 [Etude qualitative]

Exercice n°3

Montrer, sans chercher à résoudre l'équation, que toutes les solutions de l'équation différentielle

$\displaystyle{y'=x^2+y^2+1}$

sont croissantes sur leur domaine de définition.

Regarder le signe de $y'$

Equation $\displaystyle{y'=x^2+y^2+1}$

La fonction $x^2+y^2+1$ est positive quels que soient $x$ et $y$ .

Si $u(x)$ est une solution de l'équation différentielle

$\displaystyle{y'=x^2+y^2+1}$ , en tout point $x$ , on a

$\displaystyle{u'(x)=x^2+u(x)^2+1}$

donc $u'> 0$ , et $u$ est croissante.