Exercice n°3
Partie
Question
Montrer, sans chercher à résoudre l'équation, que toutes les solutions de l'équation différentielle
\(\displaystyle{y'=x^2+y^2+1}\)
sont croissantes sur leur domaine de définition.
Regarder le signe de \(y'\)
Solution détaillée
Equation \(\displaystyle{y'=x^2+y^2+1}\)
La fonction \(x^2+y^2+1\) est positive quels que soient \(x\) et \(y\).
Si\(u(x)\) est une solution de l'équation différentielle
\(\displaystyle{y'=x^2+y^2+1}\), en tout point \(x\), on a
\(\displaystyle{u'(x)=x^2+u(x)^2+1}\)
donc \(u'> 0\), et \(u\) est croissante.