Exercice n°4
Partie
Question
Soit \(y=u(x)\) la solution de l'équation différentielle
\(\displaystyle{y'=x[\sin^2x+y^2\cos^2(x+1)]}\)
vérifiant \(u(0)=y_0\). Etudier le sens de variation de \(u\) sur son intervalle de définition, et montrer que \(u\) admet un minimum en \(x=0\).
Remarquer que \(y'\) est du signe de \(x\).
Solution détaillée
Equation \(\displaystyle{y'=x[\sin^2x+y^2\cos^2(x+1)]}\)
La fonction \(\displaystyle{x[\sin^2x+y^2\cos^2(x+1)]}\) est toujours du signe de \(x\).
Si \(u(x)\) est une solution de l'équation différentielle
\(\displaystyle{y'=x[\sin^2x+y^2\cos^2(x+1)]}\)
définie au point \(x=0\), sa dérivée
\(\displaystyle{u'(x)=x[\sin^2x+u(x)^2\cos^2(x+1)]}\)
est positive si \(x> 0\), négative si \(x< 0\) et nulle pour \(x=0\).
La fonction \(u\), étant définie au voisinage de \(0\), décroissante si \(x<0\) et croissante si \(x>0\), admet un minimum en \(x=0\).